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法律研究什麼是訊號與系統中的相關性？
什麼是相關性？
兩個函式、訊號或波形的相關性定義為這些訊號之間相似性的度量。相關性有兩種型別：
互相關
自相關
互相關
兩個不同訊號、函式或波形之間的互相關定義為一個訊號與另一個訊號的延時版本之間相似性或一致性的度量。兩個不同訊號之間的互相關表示一個訊號與另一個訊號的延時版本之間相關程度。
能量（或非週期）訊號和功率（或週期）訊號的互相關分別定義。
能量訊號的互相關
考慮兩個有限能量的覆信號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$。然後，這兩個能量訊號的互相關定義為
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t+\tau }\right )}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
如果兩個訊號$\mathit{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$是實數，那麼它們之間的互相關為：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t+\tau} \right )}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
如果能量訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$具有一定的相似性。然後，它們之間的互相關$\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}}$在$\tau$範圍內將具有一定的有限值。變數$\tau$稱為延遲引數、搜尋引數或掃描引數。時間延遲引數（$\tau$）是兩個訊號之一的時間延遲或時間偏移。此延遲引數$\tau$決定了兩個訊號之間的相關性。
功率訊號的互相關
兩個功率（或週期）訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$的互相關$\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}}$可以使用相關的平均形式定義。如果兩個功率訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$具有相同的時間週期（例如T），則它們之間的互相關定義如下：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{\left (\mathit{T/\mathrm{2}}\right )}}^{\mathrm{\left(\mathit{T/\mathrm{2}}\right)}}x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}\:dt}}$$
自相關
自相關函式定義為訊號與其延時版本之間相似性或一致性的度量。因此，自相關是訊號與其自身的相關性。
與互相關一樣，自相關也分別為能量（或非週期）訊號和功率（週期）訊號定義。
能量訊號的自相關
能量或非週期訊號$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$的自相關定義為：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\mathrm{\left(\tau\right )}\:\mathrm{=}\:R\mathrm{\left ( \tau \right )}\:\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\:x\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x^{\mathrm{*}}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}\:dt}}$$
其中，變數$\tau$稱為延遲引數，此處，訊號$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$在正方向上時間偏移了$\tau$個單位。
如果訊號$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$在負方向上偏移了$\tau$個單位，則訊號的自相關定義為：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\mathrm{\left(\tau\right )}\:\mathrm{=}\:R\mathrm{\left ( \tau \right )}\:\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\:x\mathrm{\left ( \mathit{t+\tau }\right)}x^{\mathrm{*}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right )}\:dt}}$$
功率訊號的自相關
具有時間週期T的功率訊號或週期訊號$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$的自相關定義為：
$$\mathrm{\mathit{R\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\displaystyle \lim_{\mathrm{T} \to \infty }\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{\left (\mathit{T/\mathrm{2}}\right )}}^{\mathrm{\left(\mathit{T/\mathrm{2}}\right)}}x\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x^{*}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}\:dt}}$$
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