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法學訊號與系統 – 什麼是四分之一波對稱性？
四分之一波對稱性
具有奇對稱性或偶對稱性以及半波對稱性的週期函式$x(t)$被稱為具有四分之一波對稱性。
數學上，如果週期函式$x(t)$滿足以下條件，則稱其具有四分之一波對稱性：
$$\mathrm{x(t)=x(-t)\:或\:x(t)=-x(-t)\:且\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$
圖1顯示了一些具有四分之一波對稱性的週期函式示例。
具有四分之一波對稱性的函式的傅立葉級數係數計算如下：
情況一 – 當n為奇數時
$$\mathrm{x(t)=-x(-t)\:且\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$
對於這種情況，
$$\mathrm{a_{0}=0\:\:且\:\:a_{n}=0}$$
並且，
$$\mathrm{b_{n}=\frac{8}{T} \int_{0}^{T/4}x(t)\:sin\:n\omega_{0}\:t\:dt}$$
情況二 – 當n為偶數時
$$\mathrm{x(t)=x(-t)\:且\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$
對於這種情況，
$$\mathrm{a_{0}=0\:\:且\:\:b_{n}=0}$$
並且，
$$\mathrm{a_{n}=\frac{8}{T} \int_{0}^{T/4}x(t)\:cos\:n\omega_{0}\:t\:dt}$$
數值例子
使用四分之一波對稱性，求圖2所示波形的三角傅立葉級數。
解答
從圖2所示的波形可以看出，它具有奇對稱性和半波對稱性，因為它滿足以下條件：
$$\mathrm{x(t)=-x(-t)\:且\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$
因此，給定波形具有四分之一波對稱性。因此，三角傅立葉級數係數為：
$$\mathrm{a_{0}=0\:\:且\:\:a_{n}=0}$$
係數$b_{n}$由下式給出：
$$\mathrm{b_{n}=\frac{8}{T} \int_{0}^{T/4}x(t)\:sin\:n\omega_{0}\:t\:dt}$$
此外，對於此函式，只有奇次諧波存在。因此，
波形的週期為：
$$\mathrm{T= 2\pi}$$
基頻為：
$$\mathrm{\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1}$$
$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\frac{8}{T} \int_{0}^{T/4}x(t)\:sin\:n\omega_{0}\:t\:dt=\frac{8}{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}A\:sin\:nt\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:b_{n}=\frac{4A}{\pi}\left [ \frac{-cos\:nt}{n} \right ]_{0}^{\pi/2}=-\frac{4A}{n\pi}[cos(n\pi/2)-cos\:0]}$$
$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\begin{cases}\frac{4A}{n\pi} & 當n為奇數時\\0 & 當n為偶數時\end{cases}}$$
因此，波形的三角傅立葉級數為：
$$\mathrm{x(t)=\frac{4A}{\pi}sin\:t+\frac{4A}{3\pi}sin\:3t+\frac{4A}{5\pi}sin\:5t+....}$$
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