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法律研究訊號與系統 – 奇對稱性是什麼？
波形對稱性的重要性
如果週期訊號 $x(t)$ 具有某種型別的對稱性，則一些三角傅立葉級數係數可能變為零，因此係數的計算變得簡單。
奇對稱或旋轉對稱
當週期函式 $x(t)$ 關於垂直軸反對稱時，則稱該函式具有**奇對稱性**或**旋轉對稱性**。
在數學上，如果函式 $x(t)$ 滿足以下條件，則稱其具有奇對稱性：
$$\mathrm{x(t)=-x(-t)… (1)}$$
圖中顯示了一些具有奇對稱性的函式。很明顯，奇對稱函式總是關於垂直軸反對稱的。
解釋
眾所周知，任何週期訊號 $x(t)$ 都可以分解成偶數和奇數分量，即：
$$\mathrm{x(t)=x_{e}(t)+x_{0}(t)… (2)}$$
如果函式 $x(t)$ 是奇函式，則：
$$\mathrm{x_{e}(t)=0}$$
$$\mathrm{\therefore\:x(t)=x_{0}(t)… (3)}$$
函式的三角傅立葉係數可以如下計算：
係數 $a_{0}$ 由下式給出：
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T} \int_{−T/2}^{T/2}x(t)\:dt=\frac{1}{T}\int_{−T/2}^{T/2}x_{0}(t)\:dt}$$
對於奇函式，曲線在一個週期內的面積為零，即：
$$\mathrm{\int_{−T/2}^{T/2}x_{0}(t)\:dt=0}$$
$$\mathrm{\therefore\:a_{0}=0… (4)}$$
係數 $a_{n}$ 由下式給出：
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{−T/2}^{T/2}x(t)cos\:n\omega_{0} t\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:a_{n}=\frac{2}{T} \int_{−T/2}^{T/2}x_{0}(t)cos\:n\omega_{0} t\:dt}$$
由於函式 $(x_{0}(t)\:cos\:n\omega_{0𝑡}t)$ 是奇函式，因此其在一個完整週期內的積分值為零。
$$\mathrm{\therefore\:a_{n}=0… (5)}$$
而係數 $b_{n}$ 由下式給出：
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{−T/2}^{T/2}x(t)sin\:n\omega_{0}t\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:b_{n}=\frac{2}{T}\int_{−T/2}^{T/2}x_{0}(t)sin\:n\omega_{0}t\:dt=\frac{2}{T}\left ( \int_{0}^{T/2}x_{0}(t)sin\:n\omega_{0}t\:dt \right )}$$
$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}x(t)sin\:n\omega_{0}t\:dt… (6)}$$
因此，奇週期函式的傅立葉級數展開式僅包含正弦項。當函式存在奇對稱或旋轉對稱時，函式的三角傅立葉級數係數由公式 (4)、(5) 和 (6) 給出。
奇函式的性質
兩個或多個奇函式的和始終為奇函式。
兩個奇函式的積為偶函式。
當向奇函式新增常數時，函式的奇特性將被消除。
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