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法律研究斜坡函式和拋物線函式的拉普拉斯變換
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。
數學上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一個時域函式，那麼它的拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
公式 (1) 給出了函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但是對於因果訊號，應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$
斜坡函式的拉普拉斯變換
斜坡函式定義為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}\mathrm{=}\mathit{t\, u\left ( t \right )}}$$
因此，根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }t\, u\left ( t \right )e^{-st}\; dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }t\, e^{-st}\; dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \frac{t\, e^{-st}}{-s} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )\frac{e^{-st}}{-s}dt }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{0}-\left [ \frac{e^{-st}}{s^{\mathrm{2}}} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathrm{=}\left ( \mathrm{0} -\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}}\right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}}}}$$
斜坡函式 $\mathrm{\mathit{\left [ tu\left ( t \right ) \right ]}}$ 的拉普拉斯變換的收斂域 (ROC) 為 𝑅𝑒(𝑠) > 0，如圖 1 所示。因此，斜坡函式的拉普拉斯變換及其收斂域為：
$$\mathrm{\mathit{t\, u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}} }\;\;\;and\;\;\;ROC\rightarrow Re\left ( \mathit{s} \right )>\mathrm{0}}$$
拋物線函式的拉普拉斯變換
拋物線函式定義為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right )}}$$
現在，根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right )e^{-st}\: dt}} $$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }t^{\mathrm{2}}\, e^{-st}\: dt\mathrm{=}\left [ \frac{t^{\mathrm{2}}e^{-st}}{-s} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{2}t \right )\frac{e^{-st}}{-s}dt }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{\mathrm{+}}\frac{\mathrm{2}}{s}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }t\, e^{-st}\: dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s}\left\{\left [ \frac{te^{-st}}{-s} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )\frac{e^{-st}}{-s} \: dt\right\}}} $$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s}\left\{\mathrm{0}-\left [ \frac{e^{-st}}{s^{\mathrm{2}}} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty } \right\}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{3}}}\left [ e^{-st} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{3}}}}}$$
拋物線函式 $\mathrm{\mathit{\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]}}$ 的拉普拉斯變換的 ROC 也為 𝑅𝑒(𝑠) > 0，如圖 1 所示。因此，拋物線函式的拉普拉斯變換及其 ROC 為：
$$\mathrm{ \mathit{t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{3}}}\; \; \; \mathrm{and\; \; \; ROC\to Re\left ( \mathit{s} \right )>0}}}$$
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