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法律研究訊號與系統 – 帕塞瓦爾功率定理
平均功率
訊號的平均功率定義為訊號（如電壓或電流）在一個單位電阻上在一個週期內耗散的平均功率。數學上，平均功率由下式給出：
$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$
帕塞瓦爾功率定理
定理陳述 − 帕塞瓦爾功率定理指出，訊號的功率等於離散頻譜中各個諧波分量的幅度平方和。
數學上，帕塞瓦爾功率定理定義為：
$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty |\mathit{C}_\mathit{n}|^2$$
證明
考慮一個函式 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$。那麼，訊號 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$在一個完整週期內的平均功率由下式給出：
$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$ $$\because|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathrm{=}\: \mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}$$ $$\therefore\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}\:\dotsm(1)$$
但是，根據指數傅立葉級數的定義，我們有：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{C}_\mathit{n}\mathit{e}^\mathit{jn\omega t}\:\dotsm(2)$$
因此，根據公式 (1) 和 (2)，我們得到：
$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}} \begin{bmatrix}\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{C}_\mathit{n}\mathit{e}^\mathit{jn\omega t} \end{bmatrix}$$
$\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathit{dt}$
現在，透過交換積分和求和的順序，我們得到：
$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{C}_\mathit{n} \begin{bmatrix} \frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}\mathit{x}^{*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e}^\mathit{jn\omega t}\:\mathit{dt}\end{bmatrix} \:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\mathit{C}_\mathit{n}\mathit{C}_\mathit{n}^{*}$$ $$\therefore\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty|\mathit{C}_\mathit{n}|^{2}\:\dotsm(3)$$
公式 (3) 中的表示式稱為 *帕塞瓦爾功率定理*。因此，很明顯，帕塞瓦爾功率定理根據其傅立葉級數係數（換句話說，根據訊號中存在的諧波）定義訊號的功率。
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