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法學卷積法求逆Z變換
Z變換
Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是離散時間函式，則其Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
用卷積法求逆Z變換
可以使用卷積定理計算逆Z變換。在卷積積分法中，給定的Z變換X(z)首先被分解為$\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$和$\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$，使得$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$。
然後分別求$\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$和$\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的逆Z變換得到訊號$\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$和$\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。最後，透過對時域中的$\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$和$\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$進行卷積運算，得到函式$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。
根據兩個訊號卷積的Z變換定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
因此，逆Z變換可表示為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left [ \mathit{Z\mathrm{\left\{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right\}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k}=0}^{\mathit{n}}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$
數值例子
使用卷積法，求以下Z變換的逆變換：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-3 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{4}}\right )}}}$$
解答
給定的Z變換函式為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-3 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{4}}\right )}}}$$
令：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{3}} \right )}}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{4}} \right )}}}$$
分別對$\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$和$\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$求逆Z變換：
$$\mathrm{\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X_{\mathrm{1}}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z^{-\mathrm{1}}}\mathrm{\left[ \frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{3}} \right )}} \right ]}\:\mathrm{=}\:3^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
類似地
$$\mathrm{\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X_{\mathrm{2}}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z^{-\mathrm{1}}}\mathrm{\left[ \frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{4}} \right )}} \right ]}\:\mathrm{=}\:4^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
現在，使用卷積法求逆Z變換，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k}=0}^{\mathit{n}}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k}=0}^{\mathit{n}}3^{\mathit{k}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}4^{\mathit{n-k}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k}=0}^{\mathit{n}}3^{\mathit{k}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\:\mathrm{\left ( \frac{4^{\mathit{n}}}{4^{\mathit{k}}} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{n-k} \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:4^{\mathit{n}}\sum_{\mathit{k}=0}^{\mathit{n}}\mathrm{\left( \frac{3^{\mathit{k}}}{4^{\mathit{k}}} \right )}\:\mathrm{=}\:4^{\mathit{n}}\sum_{\mathit{k}=0}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \frac{3}{4} \right )}^{\mathit{k}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:4^{\mathit{n}}\mathrm{\left [ \frac{1-\mathrm{\left ( \frac{3}{4} \right )}^{\mathit{n}+1}}{1-\mathrm{\left ( \frac{3}{4} \right )}} \right ]}\:\mathrm{=}\:4^{\mathit{n}+1}\mathrm{\left [ 1-\mathrm{\left ( \frac{3}{4} \right )}^{\mathit{n}+1} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:4^{\mathit{n}+1}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-3^{\mathit{n}+1}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
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