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法學留數法計算Z反變換
Z變換
Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一個離散時間函式，則其Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
利用留數法求Z反變換
留數法也稱為 *復反演積分法*。離散時間訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 的Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
其中，z 是一個復變數，如果 r 是圓的半徑，則由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathit{re^{j\:\omega }}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left (\mathit{re^{j\:\omega}} \right )}^{\mathit{-n}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{r^{-n}}\right ]}\mathit{e^{-j\:\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
由於公式(1)是訊號$\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{r^{-n}}\right ]}$ 的傅立葉變換。因此，函式 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}$ 的逆離散時間傅立葉變換 (DTFT) 必須是 $\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{r^{-n}}\right ]}$。
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r^{-n}}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}\mathit{e^{j\:\omega n}}\:\mathit{d\omega}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left ( \mathit{re^{j\:\omega }}\right )}\mathrm{\left ( \mathit{re^{j\:\omega }} \right )}^{\mathit{n}}\:\mathit{d\omega }\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
$$\mathrm{\because \mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathit{re^{j\:\omega }}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{dz}\:\mathrm{=}\:\mathit{jre^{j\:\omega }}\:\mathit{d\omega }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{d\omega }\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{dz}}{\mathit{jre^{j\:\omega}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{dz}}{jz}}$$
將z和$\mathit{d\omega }$ 的值代入公式(2)，得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{z}\right )}\mathit{z^{\mathit{n}}}\frac{\mathit{dz}}{jz}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{z}\right )}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}\mathit{dz}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\oint_{\mathit{c}}^{}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{z}\right )}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}\mathit{dz}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
其中，c 是X(z)的收斂域中z平面上的圓。符號$\mathrm{\left [ \oint_{\mathit{c}}^{} \right ]}$ 表示沿半徑為$\left| \mathit{z}\right|\:\mathrm{=}\:\mathit{r}$ 的圓逆時針方向積分。
公式(3)可以透過確定圓c 內所有極點的留數之和來計算，即：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{\left [圓\:\mathit{c}\:內極點的留數\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\: \mathrm{\left [ \sum_{\mathit{i}}^{}\mathrm{\left ( \mathit{z-z_{\mathit{i}}} \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}z^{\mathit{n-\mathrm{1}}} \right ]}_{\mathit{z=z_{\mathit{i}}}}}$$
如果對於一個或多個n 值，[$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}z^{\mathit{n-\mathrm{1}}} $]在輪廓圓c 內沒有極點，則對於這些值，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:0$。
數值例子
使用留數法求X(z)的Z反變換。
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1\:+2\mathit{z^{-\mathrm{1}}}}{1+4\mathit{z^{-\mathrm{1}}\mathrm{\, +\, }\mathrm{3}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}}};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>3}$$
解答
給定的Z變換是：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1\:+2\mathit{z^{-\mathrm{1}}}}{1+4\mathit{z^{-\mathrm{1}}\mathrm{\, +\, }\mathrm{3}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}}}}$$
$$\mathrm{\therefore\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathit{z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\, }\mathrm{4\mathit{z}+\mathrm{3}}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}\mathrm{\, +\, }3 \right )}}}$$
使用留數法，我們有：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{\left [圓\:\mathit{c}\:內極點的留數\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{圓\:\mathit{c}\:內極點的留數\:\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}\mathit{z}^{n-1}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{圓\:\mathit{c}\:內極點的留數\:\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{極點\:\mathit{z}\:\mathrm{=}\:-1\:和\:\mathit{z}\:\mathrm{=}\:-3\:處的留數\:\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathrm{\left ( \mathit{z}+\mathrm{1} \right )}\frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}}\right ]}_{\mathit{z}=-1}\:+\:\:\mathrm{\left [ \mathrm{\left ( \mathit{z}+\mathrm{3} \right )}\frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}}\right ]}_{\mathit{z}=-3}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2}\mathrm{\left( -1 \right )}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:+\:\:\frac{1}{2}\mathrm{\left( -3 \right )}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
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