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法律研究訊號與系統 – Z 反變換的部分分式展開法
Z 反變換
**Z 反變換**被定義為從其 Z 變換 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 找到時域訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的過程。Z 反變換表示為 -
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}}$$
使用部分分式展開法求 Z 反變換
為了使用部分分式展開法確定 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的 Z 反變換，$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的分母必須採用因式分解的形式。在這種方法中，我們得到的是 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 而不是 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的部分分式展開。這是因為時域序列的 Z 變換在其分子中具有 Z。
只有當 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 是一個真有理函式時，才能應用部分分式展開法，即其分母的階數大於其分子的階數。
如果 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 不是真函式，則在應用部分分式法之前，應將其寫成多項式和真函式的形式。
部分分式法的一個缺點是，$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的分母必須採用因式分解的形式。一旦將 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 作為真函式獲得，則使用標準 Z 變換對和 Z 變換的性質，可以得到每個部分分式的 Z 反變換。
令一個有理函式 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 表示為 -
$$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{N}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}}{\mathit{D}\mathrm{\left( \mathit{z}\right)}}\:\mathrm{=}\: \frac{\mathit{b}_{\mathrm{0}}\mathit{z}^{\mathit{m}}\mathrm{+}\mathit{b}_{\mathrm{1}}\mathit{z}^{\mathit{m}-\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathit{b}_{\mathrm{2}}\mathit{z}^{\mathit{m}-\mathrm{2}}\mathrm{+}...\mathit{b}_{\mathit{m}}}{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{+}\mathit{a_\mathrm{\mathrm{1}}z}^{\mathit{n}-\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathit{a_\mathrm{\mathrm{2}}z}^{\mathit{n}-\mathrm{2}}\mathrm{+}...\mathit{a}_{\mathit{n}}}}$$
當分子的階數小於分母的階數時，即m <n，則 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 是一個真函式。如果 $\mathit{m}\geq \mathit{n}$，則 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 不是真函式，則應寫成 -
$$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\mathit{c}_{\mathrm{0}}\mathit{z}^{\mathit{n-m}}\:\mathrm{+}\:\mathit{c}_{\mathrm{1}}\mathit{z}^{\mathit{n-m}-\mathrm{1}}\:\mathrm{+}\:...\mathrm{+}\:\mathit{c}_{\mathit{n-m}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{N}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}}{\mathit{D}\mathrm{\left( \mathit{z}\right)}}}$$
其中，$\mathrm{\left[\mathit{c}_{\mathrm{0}}\mathit{z}^{\mathit{n-m}}\:\mathrm{+}\:\mathit{c}_{\mathrm{1}}\mathit{z}^{\mathit{n-m}-\mathrm{1}}\:\mathrm{+}\:...\mathrm{+}\:\mathit{c}_{\mathit{n-m}}\right]}$ 是一個多項式，$\frac{N_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}}{\mathit{D}\mathrm{\left( \mathit{z}\right)}}$ 是真有理函式。
現在，對於真有理函式 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 有兩種情況如下 -
情況一 - 當 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 具有所有不同的極點時 -
當 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 的所有極點都不同時，函式 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 可以展開成如下形式 -
$$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{1}}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{2}}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{3}}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{3}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C}_{\mathit{n}}}{\mathit{z-K}_{\mathit{n}}}}$$
這裡，係數 $\mathit{C}_{\mathrm{1}},\mathit{C}_{\mathrm{2}},\mathit{C}_{\mathrm{3}},...,\mathit{C}_{\mathit{n}}$ 可以用下面給出的公式確定 -
$$\mathrm{\mathit{C}_{\mathit{i}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( \mathit{z-K_{\mathit{i}}}\right)}\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\right]}_{\mathit{z=K_{\mathit{i}}}}\:;\mathrm{Where},\mathit{i}\:\mathrm{=}\:\mathrm{1,2,3..}}$$
情況二 - 當 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 具有 l 個重複極點，其餘 (n-l) 個極點是簡單的 -
考慮 $\mathit{p}^{\mathit{th}}$ 個極點重複了 l 次。那麼，函式 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 可以表示為，
$$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{1}}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{2}}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C}_{\mathit{p\mathrm{1}}}}{\mathit{z-K_{\mathit{p}}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C_{\mathit{p\mathrm{2}}}}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\mathit{k_{p}}}\right )^{\mathrm{2}}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C_{\mathit{p\mathit{l}}}}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\mathit{k_{p}}}\right )^{\mathit{l}}}}}$$
其中，
$$\mathrm{\mathit{C}_{\mathit{pl}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( \mathit{z-K_{\mathit{p}}}\right)}\frac{\mathit{l} \:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\right]}_{\mathit{z=K_{\mathit{p}}}}}$$
此外，如果 Z 變換 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 具有復極點，則部分分式可以表示為 -
$$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{1}}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{C}_{\mathrm{1}}^{*}}{\mathit{z-K}_{\mathrm{1}}^{*}}}$$
其中，$\mathit{C}_{\mathrm{1}}^{*}$ 是 $\mathit{C}_{\mathrm{1}}$ 的複共軛，$\mathit{K}_{\mathrm{1}}^{*}$ 是 $\mathit{K}_{\mathrm{1}}$ 的複共軛。因此，很明顯，復極點會導致部分分式展開中出現複共軛係數。
數值示例
求以下 Z 變換的逆 Z 變換
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}^{-\mathrm{1}}}{\mathrm{2-3\mathit{z^{-\mathrm{1}}\mathrm{+}}}\mathit{z}^{-\mathrm{2}}};\:\mathrm{ROC}\rightarrow \left|\mathit{z} \right|>\:\mathrm{1}}$$
解答
給定的 Z 變換為，
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}^{-\mathrm{1}}}{\mathrm{2-3\mathit{z^{-\mathrm{1}}\mathrm{+}}}\mathit{z}^{-\mathrm{2}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{2}\mathit{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3\mathit{z}}\mathrm{+}\mathrm{1}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{2}\mathrm{\left[ \mathit{z^{\mathrm{2}}-\mathrm{\left ( \frac{3 z}{2} \right)}\mathrm{+}\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}} \right ]}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\left\{ \frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}}\right)}\mathrm{\left[ \mathit{z}-\mathrm{\left(\frac{1}{2}\right)} \right]}}\right\}}}$$
透過進行部分分式展開，我們得到，
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{A}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}} \right )}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{B}}{\mathrm{\left [ \mathit{z-\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}} \right ]}}}$$
其中，A 和 B 如下確定 -
$$\mathrm{\mathit{A}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}} \right )}\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}} \right ]}_{\mathit{z=\mathrm{1}}}}$$
$$\mathrm{\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{z-\mathrm{1}}\right)}\mathrm{\left[ \frac{1}{2} \frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}}\right)}\mathrm{\left[ \mathit{z}-\mathrm{\left(\frac{1}{2}\right)} \right]}}\right]}_{\mathit{z=\mathrm{1}}}}$$
$$\mathrm{\mathrm{=}\:\frac{1}{2}\mathrm{\left[\frac{1}{1-\mathrm{\left ( \frac{1}{2}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{1}}$$
類似地，
$$\mathrm{\mathit{B}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}} \right ]}_{\mathit{z=}\frac{1}{2}}}$$
$$\mathrm{\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{z}-\frac{1}{2}\right)}\mathrm{\left[ \frac{1}{2} \frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}}\right)}\mathrm{\left[ \mathit{z}-\mathrm{\left(\frac{1}{2}\right)} \right]}}\right]}_{\mathit{z}=\frac{1}{2}}}$$
$$\mathrm{\mathrm{=}\:\frac{1}{2}\mathrm{\left[\frac{1}{\mathrm{\left ( \frac{1}{2}\right)}-\mathrm{1}}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{-1}}$$
$$\mathrm{\therefore \frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}}\right)}}-\frac{1}{\mathrm{\left [ \mathit{z}-\mathrm{\left(\frac{1}{2}\right )}\right]}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}}\right)}}-\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left [ \mathit{z}-\mathrm{\left(\frac{1}{2}\right )}\right]}};\:\mathrm{ROC}\to \left|\mathit{z}\right|>\:\mathrm{1}}$$
因為給定 Z 變換的收斂域 (ROC) 為 $\left|\mathit{z}\right|$ > 1，因此這兩個序列都必須是因果的。因此，透過取逆 Z 變換，我們得到，
$$\mathrm{\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[ \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}}\right)}}-\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left [ \mathit{z}-\mathrm{\left(\frac{1}{2}\right )}\right]}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\mathrm{\left( \frac{1}{2}\right)^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}} \right ]}}$$
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