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法律研究訊號與系統 – 使用長除法求反Z變換
反Z變換
反Z變換定義為從其Z變換$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$找到時域訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$的過程。反Z變換表示為
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{\mathrm{-1}} [\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}]$$
使用長除法計算反Z變換
如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是雙邊序列，則其Z變換定義為，
$$\mathit{X}\mathrm{(z)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}$$
其中，Z變換$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$既有z的正冪也有z的負冪。使用長除法，無法得到雙邊序列。因此，如果序列$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是因果序列，則
$$\mathit{X}\mathrm{(z)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(1)}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathit{x}\mathrm{(2)}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathit{x}\mathrm{(3)}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}+\dotso$$
即，$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$只有z的負冪，其收斂域為$|\mathit{z}|>\:\mathit{a}$。
並且，如果序列$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是反因果序列，則
$$\mathit{X}\mathrm{(z)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{0}\mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}\:\mathrm{=}\:\dotso\:+\mathit{x}\mathrm{(-3)}\mathit{z}^{\mathrm{3}}+\mathit{x}\mathrm{(-2)}\mathit{z}^{\mathrm{2}}+\mathit{x}\mathrm{(-1)}\mathit{z}+\mathit{x}\mathrm{(0)}$$
也就是說，對於反因果序列，$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$只有z的正冪，其收斂域為$|\mathit{z}|<\mathit{a}$。
由於確定$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$的反Z變換隻是確定序列$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$，即，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是因果的，則$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{0})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{1})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{2})}$，... 或者如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是反因果的，則$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{0})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{-1})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{-2})}$，...
此外，Z變換$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$是$\mathit{z}$的兩個多項式的比率，由下式給出：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{N}\mathrm{(\mathit{z})}}{\mathit{D}\mathrm{(\mathit{z})}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{b}_\mathrm{0}\mathit{z}^{m}+\mathit{b}_\mathrm{1}\mathit{z}^{m-1}+\mathit{b}_\mathrm{2}\mathit{z}^{m-2}+\mathit{b}_\mathrm{3}\mathit{z}^{m-3}+\dotso+\mathit{b}_\mathit{m}}{\mathit{z}^{n}+\mathit{a}_\mathrm{1}\mathit{z}^{n-1}+\mathit{a}_\mathrm{2}\mathit{z}^{n-2}+\mathit{a}_\mathrm{3}\mathit{z}^{n-3}+\dotso+\mathit{a}^n}$$
因此，透過將$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$的分子除以其分母，我們可以得到一個關於z的級數。
如果Z變換$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$對於$|\mathit{z}|>\mathit{a}$收斂，則得到的級數由下式給出：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(1)}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathit{x}\mathrm{(2)}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathit{x}\mathrm{(3)} \mathit{z}^{\mathrm{-3}}+\dotso$$
使用此級數，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$是因果序列，則可以識別$\mathit{Z}^\mathit{-n}$的係數。
類似地，如果$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$對於$|\mathit{z}|<\:\mathit{a}$收斂，則得到的級數由下式給出：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(-1)}\mathit{z}^{\mathrm{1}}+\mathit{x}\mathrm{(-2)}\mathit{z}^{\mathrm{2}}+\mathit{x}\mathrm{(-3)}\mathit{z}^{\mathrm{3}}+\dotso$$
使用此級數，我們可以識別$\mathit{Z}^\mathit{-n}$的係數作為反因果序列的$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}$。
數值例子
求以下表達式的反Z變換
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}^\mathrm{3}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mathit{z}+\mathrm{4}-\mathrm{2}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathrm{4}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}$$
解答
給定的Z變換為：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}^\mathrm{3}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mathit{z}+\mathrm{4}-\mathrm{2}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathrm{4}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathrm{3}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}$$
Z變換定義為：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \mathit{x}\mathrm{(n)}\mathit{z}^{\mathit{-n}}$$ $$\Rightarrow\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}\:\mathrm{=}\:\dotsm\mathit{x}\mathrm{(-3)}\mathit{z}^{\mathrm{3}}+\mathit{x}\mathrm{(-2)}\mathit{z}^{\mathrm{2}}+\mathit{x}\mathrm{(-1)}\mathit{z}+\mathit{x}\mathrm{(0)}+\mathit{x}\mathrm{(1)}\mathit{z}^{\mathrm{-1}}+\mathit{x}\mathrm{(2)}\mathit{z}^{\mathrm{-2}}+\mathit{x}\mathrm{(3)}\mathit{z}^{\mathrm{-3}}\dotsm$$
將此$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$級數與問題中給定的$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{z})}$級數進行比較，得到：
$$\mathit{x}\mathrm{(-3)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{1},\mathit{x}\mathrm{(-2)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3},\mathit{x}\mathrm{(-1)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{-2},\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{4},\mathit{x}\mathrm{(1)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{-2},\mathit{x}\mathrm{(2)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{4},\mathit{x}\mathrm{(3)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3},$$ $$\therefore\mathit{x}\mathrm{(\mathit{n})}\:\mathrm{=}\:\begin{Bmatrix}1,3,-2,4,-2,4,3 \ \uparrow\end{Bmatrix}$$
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