第2章 - 整數
整數簡介
我們用於計數的數字是1、2、3、4……等等。這些數字被稱為計數數或自然數。
請注意，0不是自然數序列的一部分。自然數從1開始。
一個數的前一個數
考慮數字1、2、3、4和5。
緊接在某個數之前的數稱為該數的前一個數。
緊接在4之前的數是3。
所以，3是4的前一個數。
我們從一個數中減去1得到它的前一個數。
一個數的後一個數
緊接在某個數之後的數稱為該數的後一個數。
緊接在4之後的數是5。
所以，5是4的後一個數。
類似地，3的前一個數是2，3的後一個數是4。
我們給一個數加上1得到它的後一個數。
整數
包含0的自然數序列稱為整數。
所以數字0、1、2、3、4……是整數。這裡0是1的前一個數，2是1的後一個數。
自然數是整數的一部分。
數軸上的運算
數軸
數軸中間是0。在0的右側一小段距離處繪製1。類似地，2、3、4等等都在1的右側繪製。
任何兩個連續整數之間的固定距離稱為單位距離。
加法是向右移動，減法是向左移動。
數軸上的加法
加法是在數軸上向右移動。
數軸上任何特定數字右側的數字總是大於該數字左側的數字。
例如，由於3位於2的右側，所以3大於2。
示例：在數軸上計算2 + 3。
從數軸上的2開始，向右跳3步。
這給了我們，
2 + 3 = 5
示例：在數軸上計算5 + 3。
從5開始，向5的右側跳3步。你將落在8上。
5 + 3 = 8
數軸上的減法
減法是在數軸上向左移動。
示例：在數軸上從8中減去2。
從8開始。向左移動2步，落在6上。所以，在數軸上向左移動是減法。所以，8 − 2 = 6。
示例：化簡8 − 2 − 3。
從8開始。向左跳2步，落在6上。再向左跳3步，落在3上。所以8 − 2 − 3 = 3
數軸上的乘法
乘法是在數軸上從零開始，進行相同大小的跳躍多次。
示例：求3 × 2的積。
要找到3 × 2的積，我們需要從0開始，進行兩次3步的跳躍。
在數軸上，乘法總是從0開始。
從0開始，向右跳3步，落在3上。
然後，再向右跳3步，到達6。
所以，3 × 2的積 = 6。
整數的性質
整數的封閉性
如果將任意兩個整數相加，則得到的和是一個整數。此性質稱為整數在加法下的封閉性。
整數的加法和乘法滿足封閉性，而減法和除法不滿足。
示例
0 + 10 = 10
3 + 8 = 11
9 + 3 = 12
如果將任意兩個整數相乘，則得到的結果是一個整數。此性質稱為整數在乘法下的封閉性。
示例
0 × 10 = 0
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
如果將任意兩個整數相減，則結果可能是或可能不是整數。整數在減法下不封閉。
示例
0 − 10 = 不是整數
3 − 8 = 不是整數
9 − 3 = 6
在前兩個例子中，結果不是整數。只有在第三種情況下，減法的結果才是整數。
類似地，如果一個整數除以另一個整數，則結果可能是或可能不是整數。所以，整數在除法下不封閉。
示例
${0}/{10}$ = 0
${3}/{8}$ = ${3}/{8}$，不是整數
${9}/{3}$ = 3
在第一種和第三種情況下，任意兩個整數的除法結果都是整數。但在第二種情況下，結果是分數，而不是整數。
整數的交換律
如果將任意兩個整數按任意順序相加或相乘，則結果保持不變。例如，
3 + 8 = 11
8 + 3 = 11
類似地，
3 × 8 = 24
8 × 3 = 24
整數的加法和乘法滿足交換律，但整數的減法和除法不滿足交換律。例如，
3 − 8 = 不是整數
8 − 3 = 5
所以減法不滿足交換律。
類似地，除法也不滿足交換律。例如，
${4}/{8}$ = ${1}/{2}$
${8}/{4}$ = 2
結合律和分配律
結合律
當三個或更多整數相加或相乘時，無論數字的組合方式如何，結果都保持不變。這稱為整數的結合律。
整數的加法和乘法滿足結合律。
示例
8 + (4 + 2) = 8 + 6 = 14
(8 + 4) + 2 = 12 + 2 = 14
類似地，
8 × (4 × 2) = 8 × 8 = 64
(8 × 4) × 2 = 32 × 2 = 64
如果用不同的分組方式對相同的數字進行減法，我們將得到不同的結果。
8 − (4 − 2) = 8 − 2 = 6
(8 − 4) − 2 = 4 − 2 = 2
類似地，除法也不滿足結合律。
8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1
整數的減法和除法不滿足結合律。
分配律
讓我們來看錶達式
8 × (4 + 2)
首先，計算括號內的數字。所以，我們得到，
8 × (4 + 2) = 8 × 6 = 48
同一個表示式也可以計算為，
8 × (4 + 2)
= (8 × 4) + (8 × 2)
= 32 + 16 = 48
在兩種情況下，我們都得到相同的結果。
在第二種方法中，括號外的數字（8）分別乘以括號內的每個數字（4和2），然後將這些乘積加起來得到最終答案。
這種將乘法分配到括號內所有數字的性質稱為分配律。
單位元
考慮以下情況
2 + 0 = 2
5 + 0 = 5
任何數 + 0 = 同一個數
這稱為整數的加法單位元。所以，0是整數加法的單位元。
對於不同的運算，例如加法、減法、乘法和除法，單位元可能不同。
任何數 + 0 = 同一個數
任何數 − 0 = 同一個數
任何數 × 1 = 同一個數
任何數 ÷ 1 = 同一個數
1是整數乘法和除法的單位元。
使用整數的模式
我們可以使用整數建立不同的模式，例如直線、三角形、正方形和矩形。
假設一個點表示數字1，兩個點表示數字2，以此類推。我們可以用給定的點集建立不同的模式。
用1個點，我們無法建立任何模式。它始終保持一個點。
直線
如果給出兩個點，則這兩個點可以連線在一起形成一條直線。
再加一個點，我們仍然可以形成一條直線。
我們可以用任意數量的點形成一條直線，除了1個點。
三角形數
構成三角形的數字稱為三角形數。例如，3、6、10、15和21是三角形數。
平方數
我們將一個整數乘以自身得到一個平方數。4、9、16……是構成正方形圖案的數字。
如果我們將任意兩個連續的三角形數相加，最終會得到一個平方數。例如，
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
10 + 15 = 25
6和10是連續的三角形數，而16是一個平方數。
矩形數
可以排列成矩形圖案的整數稱為矩形數
如果一個整數可以寫成兩個不同整數的乘積（其中一個整數不應為1），則它是一個矩形數。
示例：12是一個矩形數，因為它可以表示為，
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
所有平方數都是矩形數，但反之則不然。
你知道BODMAS嗎？
什麼是BODMAS？
要計算包含多個運算的表示式，我們需要根據其定義的優先順序級別執行運算。
- (B)rackets（括號）具有最高優先順序
- (O)rder（次序）具有下一個優先順序
- (D)ivision（除法）具有下一個優先順序，然後是
- (M)ultiplication（乘法），然後是
- (A)ddition（加法），最後是
- (S)ubtraction（減法）。
這些單詞的首字母組合在一起形成BODMAS。
示例
Question: Evaluate the following numerical expression:
3 + 9 × 6 − 22 ÷ 2 + (100 ÷ 2)
Solution: This expression has multiple arithmetic operations like addition, subtraction, multiplication, and division.
First priority; evaluate the numbers inside the brackets.
100 ÷ 2 = 50
The next priority is division, which gives us,
22 ÷ 2 = 11
Our expression now reduces to,
3 + 9 × 6 − 11 + 50
Performing multiplication next, we get,
9 × 6 = 54
The expression now becomes,
3 + 54 − 11 + 50
Next priority is addition. So, we add,
3 + 54 + 50 = 107
Last priority is subtraction. So,
107 − 11 = 96
示例
Question: Evaluate the expression (16 + 3 × 5) − 7 × 3 + 6.
Solution: First priority: Brackets,
16 + 3 × 5 = 16 + 15 = 31
Next priority: Division: No operation
Next priority: Multiplication,
7 × 3 = 21
The expression has now become,
31 − 21 + 6
Next priority: Addition,
31 + 6 = 37
Last priority: Subtraction,
37 − 21 = 16
To conclude,
(16 + 3 × 5) − 7 × 3 + 6 = 16