第十一章 - 代數

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代數導論

數學的分支

數學有幾個分支，但大體上可以分為三種類型

  • 算術 - 它處理數字、數字的型別、數字的屬性、數字運算、數字的應用等等。
  • 幾何 - 它處理1維、2維和3維中不同型別的形狀和圖形。
  • 代數 - 它是數學的一個分支，它使用變數的概念來求解方程式中未知量的值。

什麼是代數？

代數很像算術，因為它使用了算術的所有主要規則和運算。但是，它引入了一個新的概念，即需要找到的未知量的概念。代數使用算術運算，如加法、減法、乘法和除法。

代數中的變數

在代數中，我們使用字母或符號來表示值未知的事物或物件。這些字母或符號被稱為變數。

當有多個未知數時，會使用多個字母或符號。

探索變數

變數用於建立不同已知量和未知量之間的關係。變數用字母或符號表示。

關係式寫成包含變數、數字和運算的方程式。

示例

Question: Sam and Jack are two friends. Jack is older than Sam by 3 years. 
Express the relationship between their ages.
Solution:
      The relationship between their ages can be expressed as,
         Sam's age + 3 = Jack's age
      If Sam's age is taken as X, then
         Jack's age = X + 3
      If Jack's age is taken as Y, then
         Sam's age = Y − 3

示例：在下面的火柴盒正方形圖案中，找出正方形數量和火柴棒數量之間的關係。

Square Patterns

解答:

分析正方形的圖案，

第一個正方形有4根火柴棒 = 1 + (3 × 1)

第二個正方形有7根火柴棒 = 1 + (3 × 2)

第三個正方形有10根火柴棒 = 1 + (3 × 3)

如果我們繼續這個模式，那麼

第N個正方形將有 1 + (3 × N) 根火柴棒。

示例

Question: Jack transfers potatoes from a sack equally into two boxes.
He finds that there are 7 potatoes still left out in the sack. 
Find a relation to express the total number of potatoes.
Solution:
   Let's assume the no. of potatoes in each box = P
   And, total number of potatoes = T
   Then,
   Total no. of potatoes in the sack = potatoes in each box + leftover potatoes
      T = (2 × potatoes in each box) + 7
      T = (2 × P) + 7
      T = 2P + 7

在幾何中使用變數

讓我們看看代數如何利用其強大的變數概念來處理數學規則和公式。

示例：推匯出一個求正方形周長的公式。

解答：已知正方形有四個相等邊，其周長為其邊長的四倍。

Square Perimeter

讓我們假設：

P = 正方形的周長，並且

L = 每條邊的長度

那麼，正方形的周長可以寫成：

P = 4L

示例：推匯出一個求正多邊形周長的公式。

解答：多邊形是一個至少有3條邊的封閉圖形。正多邊形是指具有相等邊長的多邊形。正多邊形的例子有等邊三角形、正方形、正五邊形等。

Regular Polygon

設 L = 每條邊的長度

多邊形的周長是其各邊長度的總和。

因此，我們有以下公式：

三角形的周長 = 3L

正方形的周長 = 4L

正五邊形的周長 = 5L

推廣這個模式，

N邊正多邊形的周長 = N × 每條邊的長度

= N × L = NL

矩形的周長

在矩形中，對邊平行且長度相等。

考慮一個矩形PQRS，其中PQ和RS為其長度，QR和SP為其寬度。

讓我們假設：

L = 矩形的長度

B = 矩形的寬度

P = 矩形的周長

Perimeter of a Rectangle

矩形的周長是其兩條長度和兩條寬度的總和。因此，

P = PQ + QR + RS + SP

= L + B + L + B

= 2L + 2B

= 2(L + B)

因此，任何矩形的周長的通用公式是：P = 2(L + B)

矩形的面積

讓我們假設：

A = 矩形的面積

矩形的面積是其長度和寬度的乘積。因此，

面積 = 長度 × 寬度

A = L × B = LB

半徑和直徑

圓的直徑是其半徑長度的兩倍。

Circle Diameter

假設：

D = 圓的直徑

R = 圓的半徑

那麼，

D = 2 × R = 2R

將變數與算術運算結合使用

交換律

此屬性指出，更改運算中數字的順序不會影響結果。例如，

5 + 4 = 9 和 4 + 5 = 9

讓我們把它寫成代數公式的形式。

如果A和B是兩個變數，那麼

A + B = B + A

交換律適用於加法和乘法。

減法和除法不滿足交換律。

A − B ≠ B − A

A ÷ B ≠ B ÷ A

結合律

三個或更多數字的和或積保持不變，無論數字如何分組。例如，

2 × 5 × 4 = (2 × 5) × 4 = 10 × 4 = 40

2 × 5 × 4 = 2 × (5 × 4) = 2 × 20 = 40

結合律適用於加法和乘法，但不適用於減法和除法。

讓我們使用A、B和C作為變數來概括公式：

(A + B) + C = A + (B + C)

(A × B) × C = A × (B × C)

分配律

分配律幫助我們解決複雜的乘法問題。例如，

7 × 45

= 7 × (40 + 5)

= (7 × 40) + (7 × 5)

= 280 + 35 = 315

在這裡，我們將乘法分配給每個被加數。

使用變數概括分配律：

A (B + C) = (A × B) + (A × C)

其中A、B和C是代表任何三個不同數字的變數。

帶有變數的代數表示式

數學表示式定義為兩個或多個數字，它們相互加、減、乘或除。

例如，2 + 3 是一個數學表示式。

表示式分為兩種型別

  • 數值表示式
  • 代數表示式

數值表示式

只包含數字的數學表示式稱為數值表示式。例如，(5 + 9) 或 (7 − 3) 是數值表示式。

代數表示式

包含代數變數的數學表示式稱為代數表示式。例如，(x + 2) 或 (y − 3) 稱為代數表示式，因為它們包含 x 和 y 等變數。

BODMAS規則

我們使用BODMAS規則來簡化數值和代數表示式。此規則列出了不同運算（如加法、減法、乘法和除法）的執行優先順序。

括號 >> 階 >> 除法 >> 乘法 >> 加法 >> 減法

示例

Question: Simplify 18 + (6 × 3) + (5 − 6)
Solution:
   First priority is brackets. Simplifying the numbers inside the brackets first,
         18 + (6 × 3) + (5 − 6)
         = 18 + 18 − (−1)
         = 18 + 18 − 1
   Next priority is addition,
         18 + 18 − 1 = 36 − 1
   Last priority is subtraction,
         36 − 1 = 35
   So, we have,
         18 + (6 × 3) + (5 − 6) = 35

示例

Question: Simplify (y × 7) + (2(3 − y))
Solution:
   Using BODMAS rule,
         (y × 7) + (2(3 − y))
         = 7y + (6 − 2y)
         = 7y + 6 − 2y
         = 5y + 6
   So, (y × 7) + (2(3 − y)) = 5y + 6

示例

Question: Jack has 5 more chocolates than Jill and Sam has twice as
many chocolates as Jack. Develop an algebraic expression for the number of chocolates with Sam.
Solution:
   Assume that Jill has y chocolates.
   Number of chocolates with Jack = y + 5
   Number of chocolates with Sam = 2 (y + 5) = 2y + 10

示例：一輛汽車行駛在相距D公里的兩個城市之間。汽車行駛了5小時，距離目的地150公里。推匯出汽車速度的代數表示式。

解答:

兩城市之間的距離 = D公里

汽車行駛的距離 = D − 150公里

汽車的行駛時間 = 5小時

因此，我們有：

汽車速度 = ${行駛距離}/{行駛時間}$ = ${D - 150}/{5}$ 公里/小時

猜數字遊戲

代數魔術

讓你的朋友想一個數字。它可以是她選擇的任何自然數。

然後，讓她對其執行以下一系列算術運算。

Arithmetic Operations

你的朋友可以想任何數字，但上述運算結束後的最終輸出將是10！

驚訝！讓我們找出它是如何工作的。

假設你的朋友想到的數字是 = N

加2，它變成：

N + 2

乘以2：

2(N + 2) = 2N + 4

加5：

2N + 4 + 5 = 2N + 9

乘以5：

5 (2N + 9) = 10N + 45

減去45：

10N + 45 − 45 = 10N

除以N：

$${10 \: N}/{N} = 10$$

因此，N可以是任何數字，但我們的輸出保持不變。

另一個例子

讓另一個朋友想一個自然數，並一步一步地執行以下算術運算。

Arithmetic Operations Example

無論你的朋友想到什麼數字，這個運算序列的最終輸出都將是6！

Sequence Operations

什麼是方程？

方程是一個帶有“等於”號(=)的語句，表示兩邊表示式的值相等。

數值方程

如果方程兩邊的表示式只有數字，那麼這樣的方程就是一個數值表示式。例如，

5 − 3 = 2

10 + 7 × 2 = 24

代數方程

如果方程兩邊的表示式包含一個或多個變數，那麼這樣的方程就是一個代數方程。例如，

x + y = 12

6n = 72

我們求解代數方程以找到方程中未知變數的值。例如，

4 + x = 6

從方程兩邊減去4可以隔離未知變數並給出其值。

4 + x − 4 = 6 − 4

⇒ x = 2

同樣，求解

4y = 60

⇒ ${4y}/{4}$ = ${60}/{4}$

⇒ y = 15

示例：字母“W”可以用4根火柴棒組成。我們有方程 M = 4N，其中 M 是火柴棒的總數，N 是形成的“W”的數量。如果 M = 20，求形成的“W”的數量。

解答:

給定的方程是：

M = 4N

M = 20，所以方程變為：

20 = 4N

求解N：

N = ${20}/{4}$ = 5

因此，可以用20根火柴棒組成5個“W”。

示例

Question: Jack has 3 more chocolates than Jill and Jill has 5 chocolates in all. How many chocolates does Jack have?
Solution:
   Let the number of chocolates with Jack = Y.
   Jill has 3 chocolates less than Jack, which is = Y − 3
   Given that Jill has 5 chocolates in all.
   So, we have the equation,
         Y − 3 = 5
   Adding 3 on both sides,
         x − 3 + 3 = 5 + 3
         ⇒ x = 8
   Therefore, Jack has 8 chocolates.
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