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法學證明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$構成一個等差數列，其中$a_n$ 的定義如下
(i) $a_n = 3 + 4n$
(ii) $a_n = 9 - 5n$
並分別求出前15項的和。
待辦事項
我們需要證明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$構成一個等差數列，並分別求出每種情況下前15項的和。
解答
(i) 這裡，
$a_{n}=3+4 n$
這意味著，
$a_{1}=3+4 \times 1$
$=3+4$
$=7$
$a=7$
$a_{2}=3+4 \times 2$
$=3+8$
$=11$
$a_{3}=3+4 \times 3$
$=3+12$
$=15$
這意味著，
$d=a_{2}-a_{1}$
$=11-7$
$=4$
因此，
$a_1, a_2, ……. a_n,……$構成一個等差數列
項數 $=15$
我們知道，
$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$
$=\frac{15}{2}[2 \times 7+(15-1) \times 4]$
$=\frac{15}{2}[14+14 \times 4]$
$=\frac{15}{2}[14+56]$
$=\frac{15}{2} \times 70$
$=15 \times 35$
$=525$
前15項的和是 $525$。
(ii) 為了找到給定的序列，我們必須將 $n=1, 2, 3.....$ 代入 $a_n=9-5n$。
因此，
$a_1=9-5(1)$
$=9-5$
$=4$
$a_2=9-5(2)$
$=9-10$
$=-1$
$a_3=9-5(3)$
$=9-15$
$=-6$
$a_4=9-5(4)$
$=9-20$
$=-11$
形成的序列是 $4, -1, -6, -11,.....$。
為了使給定的序列構成等差數列，任何兩項之差都必須相等。
這裡，
$d=a_2-a_1=-1-4=-5$
$d=a_3-a_2=-6-(-1)=-6+1=-5$
$d=a_4-a_3=-11-(-6)=-11+6=-5$
這意味著，
$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=d$
因此，給定的序列構成一個等差數列。
我們知道，$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$
$=\frac{15}{2}[2 \times 4+(15-1) \times (-5)]$
$=\frac{15}{2}[8+14 \times (-5)]$
$=\frac{15}{2}[8-70]$
$=\frac{15}{2} \times (-62)$
$=15 \times (-31)$
$=-465$
前15項的和是 $-465$。
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