證明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$ 構成一個等差數列,其中 $a_n$ 定義如下
$a_n = 9 - 5n$
並分別求出前 15 項的和。
已知
$a_n=9-5n$
要求
我們需要證明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$ 構成一個等差數列,並求出前 15 項的和。
解
為了找到該數列,我們需要將 $n=1, 2, 3.....$ 代入 $a_n=9-5n$。
因此,
$a_1=9-5(1)$
$=9-5$
$=4$
$a_2=9-5(2)$
$=9-10$
$=-1$
$a_3=9-5(3)$
$=9-15$
$=-6$
$a_4=9-5(4)$
$=9-20$
$=-11$
得到的數列是 $4, -1, -6, -11,.....$。
為了使該數列構成等差數列,任意兩個連續項之間的差必須相等。
這裡,
$d=a_2-a_1=-1-4=-5$
$d=a_3-a_2=-6-(-1)=-6+1=-5$
$d=a_4-a_3=-11-(-6)=-11+6=-5$
這意味著,
$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=d$
因此,該數列構成一個等差數列。
我們知道,$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$
$=\frac{15}{2}[2 \times 4+(15-1) \times (-5)]$
$=\frac{15}{2}[8+14 \times (-5)]$
$=\frac{15}{2}[8-70]$
$=\frac{15}{2} \times (-62)$
$=15 \times (-31)$
$=-465$
前 15 項的和為 $-465$。
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