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法律研究從塔頂觀察煙囪頂部的仰角為 \( 60^{\circ} \)，從塔頂觀察煙囪底部的俯角為 \( 30^{\circ} \)。如果塔高為 \( 40 \mathrm{~m} \)，求煙囪的高度。根據汙染控制規範，排煙煙囪的最低高度應為 \( 100 \mathrm{~m} \)。說明上述煙囪的高度是否符合汙染規範。這個問題討論了什麼價值觀？
已知
從塔頂觀察煙囪頂部的仰角為 \( 60^{\circ} \)，從塔頂觀察煙囪底部的俯角為 \( 30^{\circ} \)。
塔高為 \( 40 \mathrm{~m} \)。
根據汙染控制規範，排煙煙囪的最低高度應為 \( 100 \mathrm{~m} \)。
要求
我們必須求出煙囪的高度，並說明上述煙囪的高度是否符合汙染規範。
解：
設 $AB$ 為塔，$CD$ 為煙囪。
從圖中可知，
$\angle DBE=60^{\circ}, \angle EBC=\angle BCA=30^{\circ}, \mathrm{AB}=40\ m$
設煙囪的高度為 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，煙囪與塔之間的距離為 $\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$
這意味著，
$\mathrm{EC}=\mathrm{AB}=40\ m$
$\mathrm{DE}=h-40\ m$
$\mathrm{BE}=\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{40}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{40}{x}$
$\Rightarrow x=40(\sqrt3)$
$\Rightarrow x=40\sqrt3$.............(i)
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DE }}{BE}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h-40}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h-40}{x}$
$\Rightarrow x\sqrt3=h-40$
$\Rightarrow 40\sqrt3(\sqrt3)=h-40$
$\Rightarrow 40(3)+40=h$
$\Rightarrow h=160\ m$
因此，煙囪的高度為 $160\ m$，符合汙染規範。
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