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法律研究一座塔的底部仰望山頂的角度為 \( 60^{\circ} \)，從山腳仰望塔頂的角度為 \( 30^{\circ} \)。如果塔高 \( 50 \mathrm{~m} \)，那麼山的高度是多少？
已知
一座塔的底部仰望山頂的角度為 \( 60^{\circ} \)，從山腳仰望塔頂的角度為 \( 30^{\circ} \)。塔高 \( 50 \mathrm{~m} \)。
要求
我們需要求出山的高度。
解：
設山的高度為 $AB$，塔的高度為 $CD$。
從圖中，
$\mathrm{CD}=50 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=60^{\circ}, \angle \mathrm{DAC}=30^{\circ}$
設山的高度為 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，塔和山之間的距離為 $\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$。
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{h}{\sqrt3} \mathrm{~m}$.........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DC }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{50}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{50}{\frac{h}{\sqrt3}}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}\times\frac{h}{\sqrt3}=50 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=50(3)=150 \mathrm{~m}$
因此，山的高度為 $150 \mathrm{~m}$.
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