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法律研究從一座高 \( 100 \mathrm{~m} \) 的塔的頂部和底部觀察到一塊岩石頂部的仰角分別為 \( 30^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。求岩石的高度。
已知
從一座高 \( 100 \mathrm{~m} \) 的塔的頂部和底部觀察到一塊岩石頂部的仰角分別為 \( 30^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。
要求
我們需要求出岩石的高度。
解:
設 $AB$ 為高塔，$CD$ 為岩石的高度。
設 $B, A$ 為塔的頂部和底部。
從圖中可知，
$\mathrm{AB}=\mathrm{CE}=100 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DBE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{DAC}=45^{\circ}$
設岩石的高度為 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，塔與岩石之間的距離為 $\mathrm{AC}=\mathrm{BE}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{DE}=h-100 \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DC }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 1(x)=h$
$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$...................(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DE }}{BE}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h-100}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h-100}{h}$ [由 (i) 得]
$\Rightarrow h=(h-100)\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 100\sqrt3=h(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 100(1.73)=h(1.73-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{173}{0.73} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=236.5 \mathrm{~m}$
因此，岩石的高度為 $236.5 \mathrm{~m}$.
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