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法律研究兩艘船從相反的方向駛向海上的一座燈塔。從兩艘船上看燈塔頂部的仰角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。如果兩艘船之間的距離為\( 100 \mathrm{~m} \)，求燈塔的高度。
已知
兩艘船從相反的方向駛向海上的一座燈塔。
從兩艘船上看燈塔頂部的仰角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。
兩艘船之間的距離為\( 100 \mathrm{~m} \)。
要求
我們必須找到燈塔的高度。
解答
設 $C$ 和 $D$ 為兩艘船，$AB$ 為燈塔，其高度為 $h\ m$。
設船 $C$ 與燈塔之間的距離為 $x$ 米，則另一艘船與燈塔的距離為 $(100-x)\ m$。
在直角三角形 $\vartriangle BAD$ 中，我們有
$tan\ 45^{o}=\frac{AB}{AD}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{100-x}$
$\Rightarrow 100-x=h\ m$
$\Rightarrow x=100-h\ m$......(i)
在直角三角形 $\vartriangle BAC$ 中，
$tan\ 30^{o}=\frac{AB}{AC}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{h}{100-h}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow 100-h=h\sqrt3$
$h(\sqrt3+1)=100$
$\Rightarrow h=\frac{100}{\sqrt3+1}$
$\Rightarrow h=\frac{100(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt3-1)}$
$\Rightarrow h=\frac{100(\sqrt3-1)}{3-1)}$
$\Rightarrow h=50(\sqrt3-1)$
因此，燈塔的高度約為 $50(\sqrt3-1)\ m$。
更新於: 2022年10月10日
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