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法律研究從燈塔頂端，觀察到兩艘位於其相對兩側的船隻的俯角分別為\( \alpha \)和\( \beta \)。如果燈塔的高度為\( h \)米，並且連線兩艘船的直線經過燈塔的底部，證明這兩艘船之間的距離為\( \frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \)米。
已知
從燈塔頂端，觀察到兩艘位於其相對兩側的船隻的俯角分別為\( \alpha \)和\( \beta \)。
燈塔的高度為\( h \)米，並且連線兩艘船的直線經過燈塔的底部。
要求
我們需要證明這兩艘船之間的距離為\( \frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \)米。
解答
設 $AB$ 為燈塔，$C$ 和 $D$ 為兩艘船，它們與 $B$ 的仰角分別為 $\alpha$ 和 $\beta$。
從圖中可以看出，
$AB=h \mathrm{~m}$
設 $\mathrm{AC}=x\ m$ 和 $\mathrm{AD}=y\ m$。
在 $\Delta \mathrm{BCA}$ 中，
$\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$
$=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$..........(i)
類似地，
在 $\triangle \mathrm{BDA}$ 中，
$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$
$=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \beta}$.............(ii)
$\mathrm{CD}=x+y$
$=\frac{h}{\tan \alpha}+\frac{h}{\tan \beta}$
$=h(\frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}) \mathrm{m}$
$=h \frac{(\tan \beta+\tan \alpha)}{\tan \alpha \tan \beta} \mathrm{m}$
$=\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \mathrm{m}$
證畢。
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