一座塔在它基底平面上的A點處張成一個角\( \alpha \)，並且在A點上方b米處的點處，塔基的俯角為\( \beta \)。證明塔的高度為\( b \tan \alpha \cot \beta \)。

已知

一座塔在它基底平面上的A點處張成一個角\( \alpha \)，並且在A點上方b米處的點處，塔基的俯角為\( \beta \)。

要求

我們需要證明塔的高度為\( b \tan \alpha \cot \beta \)。

解答

設$CD$為該塔，它在它基底平面上的A點處張成一個角\( \alpha \)，並且在A點上方b米處的點處，塔基的俯角為\( \beta \)。

從圖中可以看出，
$AB = b\ 米, \angle \mathrm{DAC}=\alpha \mathrm{BCA}=\beta$

設塔的高度為$\mathrm{CD}=h\ 米$ 且 $\mathrm{AC}=x\ 米$

在\( \Delta ADC\)中，

$\tan \theta=\frac{\text { 高 }}{\text { 底 }}$

$\tan \alpha=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}$

$\tan \alpha=\frac{h}{x}$...........(i)

$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$

同樣地，

在$\triangle \mathrm{ABC}$中

$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$=\frac{b}{x}$

$\Rightarrow x=\frac{b}{\tan \beta}$...........(ii)

從 (i) 和 (ii) 可以得到，

$\frac{h}{\tan \alpha}=\frac{b}{\tan \beta}$

$\Rightarrow h=b \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$

$=b \tan \alpha\cot \beta$

證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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