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法律研究一條筆直的公路通往一座塔的底部。一個站在塔頂的人觀察到一輛汽車，俯角為 $30^o$，這輛汽車以勻速駛近塔底。6秒後，發現汽車的俯角為 $60^o$。求從此時起汽車到達塔底所需的時間。
已知
一條筆直的公路通往一座塔的底部。
一個站在塔頂的人觀察到一輛汽車，俯角為 $30^o$，這輛汽車以勻速駛近塔底。
6秒後，發現汽車的俯角為 $60^o$。
要求
我們需要求出從此時起汽車到達塔底所需的時間。
解答：
設公路為 $BCD$。
高為 $h$ 的塔位於點 $D$。
從塔頂點 $A$ 觀察汽車的俯角為 $30^{\circ}$。
6 秒後，當汽車到達點 $C$ 時，俯角變為 $60^{\circ}$。
這意味著，
6 秒內汽車行駛的距離 = $\mathrm{BC}$
在直角三角形 $\mathrm{ADB}$ 中，
$\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{BD}$
$BD=h \sqrt{3}$.............(i)
在直角三角形 $ADC$ 中，
$\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}$
$\sqrt{3}=\frac{h}{CD}$
$h=\sqrt{3}CD$.........(ii)
將 $h$ 的值代入 (i)，得到：
$BD=\sqrt{3}CD \times \sqrt{3}$
$=3 C D$
$BC+CD=3CD$
$3CD-CD=BC$
$2CD=BC$
$CD=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$
行駛距離 $CD$ 所需的時間 = 行駛距離 $BC$ 所需時間的一半
$=\frac{1}{2} \times 6$
$=3$
因此，從此時起汽車到達塔底所需的時間為 3 秒。
更新於： 2022年10月10日
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