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法學一條筆直的公路通向一座高\( 50 \mathrm{~m} \)塔的腳下。從塔頂觀察，停在公路上兩輛車的俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。求兩車之間的距離以及每輛車到塔的距離。
已知
一條筆直的公路通向一座高\( 50 \mathrm{~m} \)塔的腳下。
從塔頂觀察，停在公路上兩輛車的俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。
要求
我們需要求出兩車之間的距離以及每輛車到塔的距離。
解：
設AB為塔高，C、D為兩車所在點，其俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。
由圖可知：
$\mathrm{AB}=50 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=60^{\circ}$
設車C到塔底的距離為$\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，兩車C和D之間的距離為$\mathrm{CD}=y \mathrm{~m}$。
這意味著：
$\mathrm{DA}=x-y \mathrm{~m}$
我們知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{50}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{50}{x}$
$\Rightarrow x=50\sqrt3=50(1.73)=86.5 \mathrm{~m}$..........(i)
同樣地：
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{50}{x-y}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{50}{50\sqrt3-y}$ [由(i)式]
$\Rightarrow (50\sqrt3-y)\sqrt3=50 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 50(3)-y\sqrt3=50 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y\sqrt3=100 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y=\frac{100}{1.73} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y=57.67 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x-y=50(1.73)-57.67=86.6-57.67=28.83 \mathrm{~m}$
因此，兩車之間的距離為$57.67 \mathrm{~m}$，每輛車到塔的距離分別為$86.6 \mathrm{~m}$和$28.83 \mathrm{~m}$。
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