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法律研究一座塔的兩點\( A \)和\( B \)位於塔的同一側，並且與塔底在同一條直線上。從塔頂觀察這兩個點的俯角分別為\( 60^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。如果塔高為\( 15 \mathrm{~m} \)，則求這兩點之間的距離。
已知
兩點\( A \)和\( B \)位於塔的同一側，並且與塔底在同一條直線上。
從塔頂觀察這兩個點的俯角分別為\( 60^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。
塔高為\( 15 \mathrm{~m} \)。
要求
我們需要求出這兩點之間的距離。
解：
設 $CD$ 為塔高，$A, B$ 為俯角分別為\( 60^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)的兩點。
從圖中可以看出，
$\mathrm{CD}=15 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DAC}=60^{\circ}, \angle \mathrm{DBC}=45^{\circ}$
設點 $A$ 與塔底之間的距離為 $\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，點 $B$ 與塔底之間的距離為 $\mathrm{BC}=y \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{BC}=y-x \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DC }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{15}{y}$
$\Rightarrow 1=\frac{15}{y}$
$\Rightarrow y=15 \mathrm{~m}$..........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DC }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{15}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{15}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{15}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{5\sqrt3(\sqrt3)}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=5(1.732) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=8.66 \mathrm{~m}$........(ii)
從 (i) 和 (ii) 可以得到，
$y-x=15-8.66 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y-x=6.34 \mathrm{~m}$
因此，這兩點之間的距離為 $6.34 \mathrm{~m}$。
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