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法律研究從一棟\( 15 \mathrm{~m} \) 高的建築物頂部，測得塔頂的仰角為\( 30^{\circ} \)。從同一棟建築物的底部，測得塔頂的仰角為\( 60^{\circ} \)。求塔高和塔與建築物之間的距離。
已知
從一棟\( 15 \mathrm{~m} \) 高的建築物頂部，測得塔頂的仰角為\( 30^{\circ} \)。
從同一棟建築物的底部，測得塔頂的仰角為\( 60^{\circ} \)。
要求
我們必須求出塔高和塔與建築物之間的距離。
解：
設CD為建築物，AB為塔。
從圖中，
$\mathrm{AB}=15 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CAE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{CBD}=60^{\circ}$
設塔高為$\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，塔與建築物之間的距離為$\mathrm{BD}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AE}=\mathrm{BD}=x \mathrm{~m}$
$\mathrm{ED}=\mathrm{AB}=15 \mathrm{~m}$ and $\mathrm{CE}=h-15 \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CE }}{AE}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h-15}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h-15}{x}$
$\Rightarrow x=(h-15)(\sqrt3) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\sqrt3 (h-15) \mathrm{~m}$...........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CD }}{DB}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow (x)\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow [\sqrt3 (h-15)]\sqrt3=h \mathrm{~m}$ [從 (i)]
$\Rightarrow 3(h-15)=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 3h-h=45 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{45}{2}=22.5 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=1.732(22.5-15)=1.732(7.5)=12.975 \mathrm{~m}$
因此，塔高為\(22.5 \mathrm{~m}\)，塔與建築物之間的距離為\(12.975 \mathrm{~m}\)。
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