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法學一根旗杆立在5米高的塔頂上。從地面上的一點，旗杆頂部的仰角為\( 60^{\circ} \)，從同一點，塔頂的仰角為\( 45^{\circ} \)。求旗杆的高度。
已知
一根旗杆立在5米高的塔頂上。
從地面上的一點，旗杆頂部的仰角為\( 60^{\circ} \)，從同一點，塔頂的仰角為\( 45^{\circ} \)。
求解
我們需要求出旗杆的高度。
解:
設AB為塔，BC為旗杆的長度。
設點D為觀察點。
從圖中，
$\mathrm{AB}=5 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=60^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
設旗杆的高度為$\mathrm{BC}=h \mathrm{~m}$，塔與點D之間的距離為$\mathrm{AD}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AC}=5+h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{5}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{5}{x}$
$\Rightarrow x=5 \mathrm{~m}$...........(i)
同樣地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AC }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h+5}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h+5}{5}$ [由 (i) 式]
$\Rightarrow 5\sqrt3=h+5 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=5\sqrt3-5 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=5(1.732-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=5(0.732) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=3.65 \mathrm{~m}$
因此，旗杆的高度為$3.65 \mathrm{~m}$。
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