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法律研究一根豎直的塔矗立在水平面上，塔頂上豎立著一根高為\( 7 \mathrm{~m} \)的旗杆。從水平面上的一個點，觀察旗杆底部的仰角為\( 30^{\circ} \)，觀察旗杆頂部的仰角為\( 45^{\circ} \)。求塔的高度。
已知
一根豎直的塔矗立在水平面上，塔頂上豎立著一根高為\( 7 \mathrm{~m} \)的旗杆。
從水平面上的一個點，觀察旗杆底部的仰角為\( 30^{\circ} \)，觀察旗杆頂部的仰角為\( 45^{\circ} \)。
要求
我們需要求出塔的高度。
解:
設$AB$為塔，$BC$為旗杆的長度。
設觀察點為$D$。
根據圖示，
$\mathrm{BC}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BDA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{CDA}=45^{\circ}$
設塔的高度為$\mathrm{DB}=h \mathrm{~m}$，塔與觀察點$D$之間的距離為$\mathrm{AD}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AC}=x+h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h+7}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h+7}{x}$
$\Rightarrow h+7=x(1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=h+7 \mathrm{~m}$...........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { BA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{h+7}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow h+7=h\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(1.732-1)=7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{7}{0.732} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=9.56 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度為 $9.56 \mathrm{~m}$.
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