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法學研究從地面上一點\( P \)看，一座\( 10 \mathrm{~m} \)高的建築物的仰角為\( 30^{\circ} \)。在建築物頂部豎起一面旗幟，從\( P \)點看旗杆頂端的仰角為\( 45^{\circ} \)。求旗杆的長度和建築物到\( P \)點的距離。（取\( \sqrt{3}=1.732 \)）。
已知條件
從地面上一點\( P \)看，一座\( 10 \mathrm{~m} \)高的建築物的仰角為\( 30^{\circ} \)。
在建築物頂部豎起一面旗幟，從\( P \)點看旗杆頂端的仰角為\( 45^{\circ} \)。
要求
我們需要求出旗杆的長度和建築物到\( P \)點的距離。
解：
設$AB$為高樓，$BC$為旗杆長度。
點$P$為觀察點。
從圖中，
$\mathrm{AB}=10 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CPA}=45^{\circ}, \angle \mathrm{BPA}=30^{\circ}$
設旗杆高度為$\mathrm{BC}=h \mathrm{~m}$，建築物到點$P$的距離為$\mathrm{AP}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AC}=10+h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CA }}{PA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{10+h}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{10+h}{x}$
$\Rightarrow x(1)=10+h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=10+h \mathrm{~m}$.........(i)
同樣地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { BA }}{PA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{10}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{10}{x}$
$\Rightarrow x=10\sqrt3=10(1.732)=17.32 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 10+h=10\sqrt3 \mathrm{~m}$ [從 (i)]
$\Rightarrow h=10(1.732-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=10(0.732) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7.32 \mathrm{~m}$
因此，旗杆的高度為\(7.32 \mathrm{~m}\)，建築物到點\(P\)的距離為\(17.32 \mathrm{~m}\)。
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