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法律研究一座高 \( 1.6 \mathrm{~m} \) 的雕像矗立在底座的頂部。從地面上的一點，雕像頂部的仰角為 \( 60^{\circ} \)，從同一點，底座頂部的仰角為 \( 45^{\circ} \)。求底座的高度。
已知
一座高 \( 1.6 \mathrm{~m} \) 的雕像矗立在底座的頂部。
從地面上的一點，雕像頂部的仰角為 \( 60^{\circ} \)，從同一點，底座頂部的仰角為 \( 45^{\circ} \)。
要求
我們需要求出底座的高度。
解：
設底座的高度為 $AB$，雕像的高度為 $BC$。
設觀察點為 $D$。
根據圖形，
$\mathrm{BC}=1.6 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=60^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
設底座的高度為 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，底座到點 $D$ 的距離為 $\mathrm{DA}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AC}=1.6+h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { BA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x(1)=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$.........(i)
同樣地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AC }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{1.6+h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{1.6+x}{x}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow x\sqrt3=1.6+x \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x(\sqrt3-1)=1.6 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{1.6}{\sqrt3-1)} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{1.6\times(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{1.6(\sqrt3+1)}{3-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{1.6(\sqrt3+1)}{2} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{4(\sqrt3+1)}{5} \mathrm{~m}$
因此，底座的高度為 $\frac{4(\sqrt3+1)}{5} \mathrm{~m}$。
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