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法律研究從一棟\( 7 \mathrm{~m} \)高的建築物頂部，測得一電纜塔頂部的仰角為\( 60^{\circ} \)，測得其底部的俯角為\( 45^{\circ} \)。確定塔的高度。
已知
從一棟\( 7 \mathrm{~m} \)高的建築物頂部，測得一電纜塔頂部的仰角為\( 60^{\circ} \)，測得其底部的俯角為\( 45^{\circ} \)。
要求
我們必須確定塔的高度。
解:
設$AB$為建築物的高度，$CD$為電纜塔的高度。
設點$A$為觀察點。
從圖中，
$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EAD}=45^{\circ}, \angle \mathrm{CAE}=60^{\circ}$
設電纜塔的高度為$\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，建築物與塔之間的距離為$\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{CE}=h-7 \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow x=7 \mathrm{~m}$.........(i)
同樣地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CE }}{AE}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h-7}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h-7}{7}$ [來自 (i)]
$\Rightarrow 7\sqrt3=h-7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7\sqrt3+7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
因此，塔的高度為$7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。
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