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法學從一座 7 米高的建築物頂部，測得電纜塔頂部的仰角為 60°，其底部的俯角為 45°。確定塔的高度。
已知
從一座 \( 7 \mathrm{~m} \) 高的建築物頂部，測得電纜塔頂部的仰角為 \( 60^{\circ} \)，其底部的俯角為 \( 45^{\circ} \)。
要求
我們需要確定塔的高度。
解:
設 AB 為建築物的高度，CD 為電纜塔的高度。
設 A 點為觀察點。
根據圖示：
$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EAD}=45^{\circ}, \angle \mathrm{CAE}=60^{\circ}$
設電纜塔的高度為 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，建築物和塔之間的距離為 $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=x \mathrm{~m}$。
這意味著：
$\mathrm{CE}=h-7 \mathrm{~m}$
我們知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow x=7 \mathrm{~m}$.........(i)
同樣地：
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CE }}{AE}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h-7}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h-7}{7}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow 7\sqrt3=h-7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7\sqrt3+7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
因此，塔的高度為 $7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。
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