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法律在一個水平平面上，有一座垂直的塔，塔頂上有一個旗杆。在距離塔底 9 米的一點，旗杆頂端和底端的仰角分別為 \( 60^{\circ} \) 和 \( 30^{\circ} \)。求塔的高度和安裝在其上的旗杆的高度。
已知
在一個水平平面上，有一座垂直的塔，塔頂上有一個旗杆。
在距離塔底 9 米的一點，旗杆頂端和底端的仰角分別為 \( 60^{\circ} \) 和 \( 30^{\circ} \)。
要求
我們需要求出塔的高度和安裝在其上的旗杆的高度。
解:
設 $AB$ 為塔，$BC$ 為塔頂上的旗杆。
設 $D$ 為距離塔底 9 米的一點。
從圖中，
$\mathrm{AD}=9 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=60^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=30^{\circ}$
設塔的高度為 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，旗杆的高度為 $\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AC}=x+h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{9}$
$\Rightarrow h=\frac{9}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=3\sqrt3 \mathrm{~m}$...........(i)
同樣地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AC }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h+x}{9}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{3\sqrt3+x}{9}$ [從 (i)]
$\Rightarrow 9\sqrt3=3\sqrt3+x \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=(9-3)\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=6\sqrt3 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度為 $3\sqrt3 \mathrm{~m}$，旗杆的高度為 $6\sqrt3 \mathrm{~m}$。
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