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法律研究一根豎直的塔矗立在水平地面上，塔頂上豎直安裝著一根高5米的旗杆。在水平地面上的某一點，旗杆底部和頂部的仰角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。求塔的高度。
已知
一根豎直的塔矗立在水平地面上，塔頂上豎直安裝著一根高5米的旗杆。在水平地面上的某一點，旗杆底部和頂部的仰角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。
求解
我們需要求出塔的高度。
解：
設$DB$為塔，$AD$為旗杆的長度。
設觀測點為$C$。
由圖可知，
$\mathrm{AD}=5 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DCB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$
設塔的高度為$\mathrm{DB}=h \mathrm{~m}$，觀測點$C$到塔底的距離為$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=h(\sqrt3) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\sqrt3 h \mathrm{~m}$...........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{5+h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{5+h}{x}$
$\Rightarrow x\sqrt3=5+h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow (\sqrt3 h)\sqrt3=5+h \mathrm{~m}$ [由 (i)]
$\Rightarrow 3h=5+h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 3h-h=5 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{5}{2}=2.5 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度為 $2.5 \mathrm{~m}$.
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