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法律研究從與塔底同一水平面上的一點測得塔的仰角為 \( 30^{\circ} \)。 向塔底前進 150 米後，塔的仰角變為 \( 60^{\circ} \)。證明塔高為 \( 129.9 \) 米（使用 \( \sqrt{3}=1.732 \)）。
已知
從與塔底同一水平面上的一點測得塔的仰角為 \( 30^{\circ} \)。 向塔底前進 150 米後，塔的仰角變為 \( 60^{\circ} \)。
要求
我們必須證明塔高為 \( 129.9 \) 米。
解：
設 AB 為塔，CD 為從 C 點開始向塔底移動的距離。
從圖中可知：
$\mathrm{CD}=150 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=60^{\circ}$
設塔高為 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，C 點與塔底之間的距離為 $\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
這意味著：
$\mathrm{DB}=x-150 \mathrm{~m}$
我們知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=h(\sqrt3) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\sqrt3 h \mathrm{~m}$...........(i)
同樣地：
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DB}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x-150}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x-150}$
$\Rightarrow (x-150)\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow (\sqrt3 h-150)\sqrt3=h \mathrm{~m}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow 3h-150\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 2h=150\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{150\times1.732}{2}=129.9 \mathrm{~m}$
因此，塔高為$129.9 \mathrm{~m}$。
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