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法律研究一座垂直的塔矗立在水平地面上，塔頂上豎立著一根垂直的旗杆。在距離塔 70 米的地面上一處，觀察者注意到旗杆頂端和底端的仰角分別為 \( 60^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)，求旗杆的高度和塔的高度。
已知
一座垂直的塔矗立在水平地面上，塔頂上豎立著一根垂直的旗杆。在距離塔 70 米的地面上一處，觀察者注意到旗杆頂端和底端的仰角分別為 \( 60^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。
要求
我們需要求出旗杆的高度和塔的高度。
解：
設 $DB$ 為塔，$AD$ 為旗杆的長度。
設點 $C$ 為觀察點，距離塔 70 米。
從圖中，
$\mathrm{BC}=70 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DCB}=45^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$
設塔的高度為 $\mathrm{DB}=h \mathrm{~m}$，旗杆的高度為 $\mathrm{AD}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{AB}=x+h \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { DB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{70}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{70}$
$\Rightarrow h=70(1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=70 \mathrm{~m}$
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{x+h}{70}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{x+70}{70}$
$\Rightarrow x+70=70\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=70(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=70(1.732-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=70(0.732) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=51.24 \mathrm{~m}$
因此，旗杆的高度為 $51.24 \mathrm{~m}$，塔的高度為 $70 \mathrm{~m}$.
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