如果從水面以上 \( h \) 米處的一點觀察雲的仰角為 \( \alpha \)，並且觀察到它在湖中的倒影的俯角為 \( \beta \)，證明雲到觀察點的距離為 \( \frac{2 h \sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} \)。

已知

從水面以上 \( h \) 米處的一點觀察雲的仰角為 \( \alpha \)，並且觀察到它在湖中的倒影的俯角為 \( \beta \)。

要求

我們必須證明雲到觀察點的距離為 \( \frac{2 h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} \)。

解答

設云為 $A$，湖中的倒影為 $C$，觀察點為 $B$。

設 $AD=y\ m$，$FC=h+y\ m$ 以及 $BD=EF=x\ m$。

從圖中，

$\angle ABD =\alpha, BE=DF=h\ m$ 以及 $\angle DBC=\beta$

在 $\vartriangle ABD$ 中，

$tan\ \alpha =\frac{AD}{BD} =\frac{y}{x}$

$x=\frac{y}{\tan\ \alpha}$.........(i)

在 $\vartriangle BDC$ 中，

$tan\ \beta=\frac{DC}{BD} =\frac{y+h+h}{x}$

$x=\frac{2h+y}{\tan \beta}$.........(ii)

從 (i) 和 (ii) 中，我們得到，

$\frac{y}{\tan\ \alpha}=\frac{y+2h}{\tan \beta}$

$y\tan \beta=(y+2h)\tan \alpha$

$y(\tan \beta-\tan \alpha)=2h\tan \alpha$

$y=\frac{2h\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}$..............(iii)

在 $\vartriangle ABD$ 中，

$sin\ \alpha =\frac{AD}{AB} =\frac{y}{AB}$

$AB=\frac{\frac{2h\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}}{\sin \alpha}$

$=\frac{\frac{2h(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})}{\tan \beta-\tan \alpha}}{\sin \alpha}$

$=\frac{2h\sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}$

證畢。

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更新於: 2022-10-10

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