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法律從燈塔頂端觀察到兩艘船的俯角，這兩艘船位於燈塔的同一側，分別為\( 45^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。如果這兩艘船相距\( 200 \mathrm{~m} \)，求燈塔的高度。
已知
從燈塔頂端觀察到兩艘船的俯角，這兩艘船位於燈塔的同一側，分別為\( 45^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。
這兩艘船相距\( 200 \mathrm{~m} \)。
要求
我們需要求出燈塔的高度。
解答：
設燈塔的高度為$AB$，兩艘船分別為$C, D$，且$D$在$C$的後面。
根據圖示，
$\mathrm{CD}=200 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
設燈塔的高度為$\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，第一艘船$D$與燈塔的距離為$\mathrm{DA}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{CA}=200+x \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$.........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { BA }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{200+x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{200+h}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow 200+h=h\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 200=h(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 200=h(1.732-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{200}{0.732} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=273.2 \mathrm{~m}$
因此，燈塔的高度為$273.2 \mathrm{~m}$。
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