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法律研究從河上的一座橋上的一點，觀察到河對岸兩岸的俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。如果橋離河岸的高度為\( 30 \mathrm{~m} \)，求河流的寬度。
已知
從河上的一座橋上的一點，觀察到河對岸兩岸的俯角分別為\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。
橋離河岸的高度為\( 30 \mathrm{~m} \)。
要求
我們需要求出河流的寬度。
解答：
設$AB$為橋的高度，$C, D$為河對岸兩岸的俯角點。
從圖中，
$\mathrm{AB}=30 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{BCA}=45^{\circ}$
設橋與點$C$之間的距離為$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$，橋與點$D$之間的距離為$\mathrm{BD}=y \mathrm{~m}$。
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{30}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{30}{x}$
$\Rightarrow x=30 \mathrm{~m}$.........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{30}{y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{30}{y}$
$\Rightarrow y=30\sqrt3 \mathrm{~m}$..........(ii)
$\Rightarrow x+y=30+30\sqrt3=30(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
因此，河流的寬度為 $30(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。
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