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法律學一個人坐在河中間一個小島上的一棵高樹上，高度為\( 20 \mathrm{~m} \)，觀察到河兩岸的兩個杆子，這兩個杆子正好在樹腳下對面的位置並且與樹幹在一條直線上。如果從這個人坐在樹上的位置觀察這兩個杆子的底部的俯角分別為\( 60^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。求這條河的寬度。
已知
一個人坐在河中間一個小島上的一棵高樹上，高度為\( 20 \mathrm{~m} \)，觀察到河兩岸的兩個杆子，這兩個杆子正好在樹腳下對面的位置並且與樹幹在一條直線上。
如果從這個人坐在樹上的位置觀察這兩個杆子的底部的俯角分別為\( 60^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。
要求
我們需要求出這條河的寬度。
解：
設樹的高度為$AB$，河對岸兩岸的點為$C, D$。
從圖中可知，
$\mathrm{AB}=20 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}$
設樹與點$C$之間的距離為$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$，樹與點$D$之間的距離為$\mathrm{BD}=y \mathrm{~m}$。
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{20}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{20}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{20}{\sqrt3} \mathrm{~m}$.........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{20}{y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{20}{y}$
$\Rightarrow y=20\sqrt3 \mathrm{~m}$..........(ii)
$\Rightarrow x+y=\frac{20}{\sqrt3}+20\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x+y=\frac{20+20(3)}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x+y=\frac{80}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
因此，河的寬度為 $\frac{80}{\sqrt3} \mathrm{~m}$。
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