證明任何形如 $5q+1$ 的正整數的平方都具有相同的形式。

已知：命題“任何形如 $5q\ +\ 1$ 的正整數的平方都具有相同的形式”。

待證：我們需要證明上述命題。

解答

根據歐幾里得引理：

如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數；

• $a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{<}\ r\ <\ b$。

令 $a\ =\ 5q\ +\ 1$，其中 $b\ =\ 5$ 且 $r\ =\ 1$

現在，

$a\ =\ 5q\ +\ 1$

兩邊平方，得到:

$a^2\ =\ (5q\ +\ 1)^2$

$a^2\ =\ 25q^2\ +\ 10q\ +\ 1$

$a^2\ =\ 5(5q^2\ +\ 2q)\ +\ 1$

$a^2\ =\ 5m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 5q^2\ +\ 2q$

因此，任何形如 $5q\ +\ 1$ 的正整數的平方都具有相同的形式。

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更新於： 2022年10月10日

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