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法學證明任何正整數的平方都可以表示為 4q 或 4q+1 的形式，其中 'q' 為整數。
已知： 正整數 $q$。
需證明： 我們需要證明任何正整數的平方都可以表示為 $4q$ 或 $4q+1$ 的形式，其中 '$q$' 為整數。
解答：
根據歐幾里得除法演算法，
如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數，
$a = bm + r$，其中 $0 \le r < b$
設 $a$ 為正整數，$b$ 等於 4，
$a = 4m + r$，其中 $0 \le r < 4$，
所以，$r = 0, 1, 2, 3$
現在，
當 $r = 0$ 時，
$a = 4m$
兩邊平方，得到:
$a^2 = (4m)^2$
$a^2 = 4(4m^2)$
$a^2 = 4q$，其中 $q = 4m^2$
當 $r = 1$ 時，
$a = 4m + 1$
兩邊平方，得到:
$a^2 = (4m + 1)^2$
$a^2 = 16m^2 + 1 + 8m$
$a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1$
$a^2 = 4q + 1$，其中 $q = 4m^2 + 2m$
當 $r = 2$ 時，
$a = 4m + 2$
兩邊平方，得到:
$a^2 = (4m + 2)^2$
$a^2 = 16m^2 + 4 + 16m$
$a^2 = 4(4m^2 + 4m + 1)$
$a^2 = 4q$，其中 $q = 4m^2 + 4m + 1$
當 $r = 3$ 時，
$a = 4m + 3$
兩邊平方，得到:
$a^2 = (4m + 3)^2$
$a^2 = 16m^2 + 9 + 24m$
$a^2 = 16m^2 + 24m + 8 + 1$
$a^2 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1$
$a^2 = 4q + 1$，其中 $q = 4m^2 + 6m + 2$
因此，任何正整數的平方都可以表示為 4q 或 $4q + 1$ 的形式，其中 $q$ 為整數。
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