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法律研究證明任何正整數的平方都可以表示為 $5q$、$5q+1$、$5q+4$ 的形式，其中 q 是某個整數。
已知：陳述“任何正整數都可以表示為 $5q$、$5q\ +\ 1$、$5q\ +\ 4$ 的形式，其中 q 是某個整數”。
要證明：我們需要證明任何正整數的平方都可以表示為 $5q$、$5q\ +\ 1$、$5q\ +\ 4$ 的形式，其中 q 是某個整數。
解答
設 'a' 為一個整數，使得 $a\ =\ 5m\ +\ r$。
根據歐幾里得除法演算法
$a\ =\ bm\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。
這裡，b = 5。所以，
$a\ =\ 5m\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 5$。
我們需要考慮 r 的所有情況。
當 r = 0 時:
我們也假設 q 等於 $m^2$。
當 $r\ =\ 0$ 時，我們可以得出結論 $a\ =\ 5m$。
$a\ =\ 5m$
$a^2\ =\ ( 5m )^2$
$a^2\ =\ 5 \left( 5m^{2}\right)$
$a^2\ =\ 5q$
當 r = 1 時:
我們也假設 q 等於 $5m^2\ +\ 2m$。
$a\ =\ 5m\ +\ 1$
$a^2\ =\ ( 5m\ +\ 1 )^2$
$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 10m\ +\ 1$
$a^2\ =\ 5( 5m^2\ +\ 2m )\ +\ 1$
$a^2\ =\ 5q\ +\ 1$
當 r = 2 時:
我們也假設 q 等於 $5m^2\ +\ 4m$。
$a\ =\ 5m\ +\ 2$
$a^2\ =\ ( 5m\ +\ 2 )^2$
$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 20m\ +\ 4$
$a^2\ =\ 5 ( 5m^2\ +\ 4m )\ +\ 4$
$a^2\ =\ 5q\ +\ 4$
當 r = 3 時:
我們也假設 q 等於 $5m^2\ +\ 6m\ +\ 1$。
$a\ =\ 5m\ +\ 3$
$a^2\ =\ (5m\ +\ 3)^2$
$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 9\ +\ 30m$
$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 30m\ +\ 5\ +\ 4$
$a^2\ =\ 5 ( 5m^2\ +\ 6m\ +\ 1 )\ +\ 4$
$a^2\ =\ 5q\ +\ 4$。
當 r = 4 時:
我們也假設 q 等於 $5m^2\ +\ 8m\ +\ 3$。
$a\ =\ 5m\ +\ 4$
$a^2\ =\ (5m\ +\ 4)^2$
$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 40m\ +\ 15\ +\ 1$
$a^2\ =\ 5 ( 5m^2\ +\ 8m\ +\ 3 )\ +\ 1$
$a^2\ =\ 5q\ +\ 1$
因此，任何正整數的平方都可以表示為 5q 或 5q $+$ 1 或 5q $+$ 4 的形式。
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