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法學證明任何正整數的平方都具有 5p、5p+1、5p+4 的形式。
已知：
任何正整數的平方都具有 $5p$、$5p+1$、$5p+4$ 的形式。
證明：
我們必須證明任何正整數的平方都具有 $5p$、$5p+1$、$5p+4$ 的形式。
解答
設 'a' 為一個整數，使得 $a = 5m + r$。
根據歐幾里得除法演算法
$a = bm + r$，其中 $0 \le r < b$。
這裡，b = 5。所以，
$a = 5m + r$，其中 $0 \le r < 5$。
現在我們需要考慮r的所有情況。
當 r = 0 時:
我們假設 p 等於 $m^2$。
當 $r = 0$ 時，我們可以得出結論 $a = 5m$。
$a = 5m$
$a^2 = (5m)^2$
$a^2 = 5(5m^2)$
$a^2 = 5p$
當 r = 1 時：
我們假設 p 等於 $5m^2 + 2m$。
$a = 5m + 1$
$a^2 = (5m + 1)^2$
$a^2 = 25m^2 + 10m + 1$
$a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1$
$a^2 = 5p + 1$
當 r = 2 時：
我們假設 p 等於 $5m^2 + 4m$。
$a = 5m + 2$
$a^2 = (5m + 2)^2$
$a^2 = 25m^2 + 20m + 4$
$a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4$
$a^2 = 5p + 4$
當 r = 3 時：
我們假設 p 等於 $5m^2 + 6m + 1$。
$a = 5m + 3$
$a^2 = (5m + 3)^2$
$a^2 = 25m^2 + 9 + 30m$
$a^2 = 25m^2 + 30m + 5 + 4$
$a^2 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4$
$a^2 = 5p + 4$。
當 r = 4 時：
我們假設 p 等於 $5m^2 + 8m + 3$。
$a = 5m + 4$
$a^2 = (5m + 4)^2$
$a^2 = 25m^2 + 40m + 16$
$a^2 = 25m^2 + 40m + 15 + 1$
$a^2 = 5p + 1$
因此，任何正整數的平方都具有 5p、5p+1 或 5p+4 的形式。
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