證明任何正整數的平方不可能是 3m+2 的形式，其中 m 是自然數。

已知：命題“任何正整數的平方不可能是 3m+2 的形式，其中 m 是自然數”。

證明：我們需要證明上述命題。

解答

根據歐幾里得引理：

如果 a 和 b 是兩個正整數；

  • a = bq + r，其中 0 ≤ r < b。

如果 b = 3，則：

  • a = 3q + r，其中 0 ≤ r < 3。
  • 所以，r = 0, 1, 2

當 r = 0 時

a = 3q

兩邊平方，我們得到:

a² = (3q)²

a² = 9q²

a² = 3(3q²)

a² = 3m，其中 m = 3q²

當 r = 1 時

a = 3q + 1

兩邊平方，我們得到:

a² = (3q + 1)²

a² = 9q² + 6q + 1

a² = 3(3q² + 2q) + 1

a² = 3m + 1，其中 m = 3q² + 2q

當 r = 2 時

a = 3q + 2

兩邊平方，我們得到:

a² = (3q + 2)²

a² = 9q² + 12q + 4

a² = 9q² + 12q + 3 + 1

a² = 3(3q² + 4q + 1) + 1

a² = 3m + 1，其中 m = 3q² + 4q + 1

因此，任何正數的平方不可能是 3m + 2 的形式。

更新於：2022年10月10日

56 次瀏覽

開啟你的職業生涯

完成課程獲得認證

開始學習
廣告