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法律研究證明任何正整數的平方不可能是任何整數m的6m+2或6m+5的形式。
已知：
“任何正整數的平方不可能是任何正整數m的6m+2或6m+5的形式”。
需要證明：
我們需要證明上述陳述。
解答
根據歐幾里得除法引理：
如果a和b是兩個正整數；
- a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
如果b = 6，則：
- a = 6q + r，其中0 ≤ r < 6。
- 所以，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
當r = 0時
a = 6q
兩邊平方，我們得到:
a² = (6q)²
a² = 36q²
a² = 6(6q²)
a² = 6m，其中m = 6q²
當r = 1時
a = 6q + 1
兩邊平方，我們得到:
a² = (6q + 1)²
a² = 36q² + 12q + 1
a² = 6(6q² + 2q) + 1
a² = 6m + 1，其中m = 6q² + 2q
當r = 2時
a = 6q + 2
兩邊平方，我們得到:
a² = (6q + 2)²
a² = 36q² + 24q + 4
a² = 6(6q² + 4q) + 4
a² = 6m + 4，其中m = 6q² + 4q
當r = 3時
a = 6q + 3
兩邊平方，我們得到:
a² = (6q + 3)²
a² = 36q² + 36q + 9
a² = 36q² + 36q + 6 + 3
a² = 6(6q² + 6q + 1) + 3
a² = 6m + 3，其中m = 6q² + 6q + 1
當r = 4時
a = 6q + 4
兩邊平方，我們得到:
a² = (6q + 4)²
a² = 36q² + 48q + 16
a² = 36q² + 48q + 12 + 4
a² = 6(6q² + 8q + 2) + 4
a² = 6m + 4，其中m = 6q² + 8q + 2
當r = 5時
a = 6q + 5
兩邊平方，我們得到:
a² = (6q + 5)²
a² = 36q² + 60q + 25
a² = 36q² + 60q + 24 + 1
a² = 6(6q² + 10q + 4) + 1
a² = 6m + 1，其中m = 6q² + 10q + 4
因此，任何正整數的平方不可能是任何正整數m的6m+2或6m+5的形式。
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