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法律證明形如 $6q + r$ 的正整數的立方，其中 $q$ 是整數，$r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$，也形如 $6m + r$。
已知
"正整數的立方可以表示為 $6q\ +\ r$ 的形式，其中 $q$ 是整數，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ 也形如 $6m\ +\ r$”。
要求
我們需要證明給定的陳述。
解答
根據歐幾里得除法定理；
如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數；
$a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。
如果 $b\ =\ 6$，則；
$a\ =\ 6q\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 6$。
所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$
當 $r\ =\ 0$ 時
$a\ =\ 6q$
兩邊取立方，得到
$a^3\ =\ (6q)^3$
$a^3\ =\ 216q^3$
$a^3\ =\ 6(36q^3)$
$a^3\ =\ 6m$，其中 $m\ =\ 36q^3$
當 $r\ =\ 1$ 時
$a\ =\ 6q\ +\ 1$
兩邊取立方，得到
$a^3\ =\ (6q\ +\ 1)^3$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 108q^2\ +\ 18q\ +\ 1$
$a^3\ =\ 6(36q^3\ +\ 18q^2\ +\ 3q)\ +\ 1$
$a^3\ =\ 6m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 36q^3\ +\ 18q^2\ +\ 3q$
當 $r\ =\ 2$ 時
$a\ =\ 6q\ +\ 2$
兩邊取立方，得到
$a^3\ =\ (6q\ +\ 2)^3$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 216q^2\ +\ 72q\ +\ 8$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 216q^2\ +\ 72q\ +\ 6\ +\ 2$
$a^3\ =\ 6(36q^3\ +\ 36q^2\ +\ 12q\ +\ 1)\ +\ 2$
$a^3\ =\ 6m\ +\ 2$，其中 $m\ =\ 36q^3\ +\ 54q^2\ +\ 12q\ +\ 1$
當 $r\ =\ 3$ 時
$a\ =\ 6q\ +\ 3$
兩邊取立方，得到
$a^3\ =\ (6q\ +\ 3)^3$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 324q^2\ +\ 162q\ +\ 27$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 324q^2\ +\ 162q\ +\ 24\ +\ 3$
$a^3\ =\ 6(36q^3\ +\ 54q^2\ +\ 27q\ +\ 4)\ +\ 3$
$a^3\ =\ 6m\ +\ 3$，其中 $m\ =\ 36q^3\ +\ 54q^2\ +\ 27q\ +\ 4$
當 $r\ =\ 4$ 時
$a\ =\ 6q\ +\ 4$
兩邊取立方，得到
$a^3\ =\ (6q\ +\ 4)^3$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 432q^2\ +\ 288q\ +\ 64$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 432q^2\ +\ 288q\ +\ 60\ +\ 4$
$a^3\ =\ 6(36q^3\ +\ 72q^2\ +\ 48q\ +\ 10)\ +\ 4$
$a^3\ =\ 6m\ +\ 4$，其中 $m\ =\ 36q^3\ +\ 72q^2\ +\ 48q\ +\ 10$
當 $r\ =\ 5$ 時
$a\ =\ 6q\ +\ 5$
兩邊取立方，得到
$a^3\ =\ (6n\ +\ 5)^3$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 540q^2\ +\ 450q\ +\ 125$
$a^3\ =\ 216q^3\ +\ 540q^2\ +\ 450q\ +\ 120\ +\ 5$
$a^3\ =\ 6(36q^3\ +\ 90q^2\ +\ 75q\ +\ 20)\ +\ 5$
$a^3\ =\ 6m\ +\ 5$，其中 $m\ =\ 36q^3\ +\ 72q^2\ +\ 48q\ +\ 10$
因此，正整數的立方可以表示為 $6q\ +\ r$ 的形式，其中 $q$ 是整數，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ 也形如 $6m\ +\ r$。
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