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法律研究證明奇數的平方可以表示為 $6q+1$ 或 $6q+3$ 的形式，其中 $q$ 為某個整數。
已知： 陳述“奇數的平方可以表示為 $6q+1$ 或 $6q+3$ 的形式，其中 $q$ 為某個整數”。
要求： 這裡我們需要證明給定的陳述。
解答
根據歐幾里得除法定理，
如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數；
- $a\ =\ bm\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。
如果 $b\ =\ 6$，則；
- $a\ =\ 6m\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 6$。
- 但這裡我們只需要考慮奇正整數。
- 所以，$r\ =\ 1,\ 3,\ 5$
當，$r\ =\ 1$
$a\ =\ 6m\ +\ 1$
兩邊平方，得到:
$a^2\ = (6m\ +\ 1)^2$
$a^2\ = 36m^2\ +\ 12m\ + 1$
$a^2\ = 6(6m^2\ +\ 2m)\ +\ 1$
$a^2\ = 6q\ +\ 1$，其中 $q\ =\ 6m^2\ +\ 2m$
當，$r\ =\ 3$
$a\ =\ 6q\ +\ 3$
兩邊平方，得到:
$a^2\ = (6m\ +\ 3)^2$
$a^2\ = 36m^2\ +\ 36m\ + 9$
$a^2\ = 36m^2\ +\ 36m\ + 6\ +\ 3$
$a^2\ = 6(6m^2\ +\ 6m\ +\ 1)\ +\ 3$
$a^2\ = 6q\ +\ 3$，其中 $q\ =\ 6m^2\ +\ 6m\ +\ 1$
當，$r\ =\ 5$
$a\ =\ 6q\ +\ 5$
兩邊平方，得到:
$a^2\ = (6m\ +\ 5)^2$
$a^2\ = 36m^2\ +\ 60m\ + 25$
$a^2\ = 36m^2\ +\ 60m\ + 24\ +\ 1$
$a^2\ = 6(6m^2\ +\ 10m\ +\ 4)\ +\ 1$
$a^2\ = 6q\ +\ 1$，其中 $q\ =\ 6m^2\ +\ 10m\ +\ 4$
因此，奇數的平方可以表示為 $6q+1$ 或 $6q+3$ 的形式，其中 $q$ 為某個整數。
更新於： 2022年10月10日
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