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法律研究證明任何奇數的平方都可以表示為 $4m + 1$ 的形式，其中 $m$ 是某個整數。
已知：
"任何奇數的平方都可以表示為 $4m\ +\ 1$ 的形式，其中 $m$ 是某個整數。"
要求：
我們需要證明給定的陳述。
解答
設 $a$ 為任意正整數。
那麼，根據歐幾里得除法引理
$a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。
這裡，$b\ =\ 4$。那麼，
$a\ =\ 4q\ +\ r$，其中 $0 \underline{< } r < 4$。
當 $r=0$ 時，
$a=4 q$
$4 q$ 可以被 2 整除。
這意味著，$4q$ 是偶數。
當 $r=1$ 時，
$a=4 q+1$
$(4 q+1)$ 不能被 2 整除。
當 $r=2$ 時
$a=4 q+2$
$=2(2 q+1)$ 可以被 2 整除。
這意味著，
$2(2 q+1)$ 是偶數。
當 $r=3$ 時，
$a=4 q+3$
$(4 q+3)$ 不能被 2 整除。
因此，對於任何正整數 $q$，$(4 q+1)$ 和 $(4 q+3)$ 都是奇數。
$a^{2}=(4 q+1)^{2}$
$=16 q^{2}+1+8 q$
$=4(4 q^{2}+2 q)+1$ 是一個平方數，其形式為 $4 m+1$，其中 $m=(4 q^{2}+2 q)$ 是一個整數。
$a^{2}=(4 q+3)^{2}$
$=16 q^{2}+9+24 q$
$=4(4 q^{2}+6 q+2)+1$ 是一個平方數，其形式為 $4 m+1$，其中 $m=(4 q^{2}+6 q+2)$ 是一個整數。
因此，對於某個整數 $m$，任何奇數的平方都可以表示為 $4 m+1$ 的形式。
更新於： 2022年10月10日
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