證明任何正整數的平方不可能是任何正整數m的6m+2或6m+5的形式。

已知：陳述“任何正整數的平方不可能是任何正整數m的6m+2或6m+5的形式”。

需證明：我們需要證明該陳述。

解答

根據歐幾里得除法定理；

如果a和b是兩個正整數；

• a = bq + r，其中0 ≤ r < b。

如果b = 6，則；

• a = 6q + r，其中0 ≤ r < 6。
• 所以，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5

當r = 0時

a = 6q

兩邊平方，我們得到:

a² = (6q)²

a² = 36q²

a² = 6(6q²)

a² = 6m，其中m = 6q²

當r = 1時

a = 6q + 1

兩邊平方，我們得到:

a² = (6q + 1)²

a² = 36q² + 12q + 1

a² = 6(6q² + 2q) + 1

a² = 6m + 1，其中m = 6q² + 2q

當r = 2時

a = 6q + 2

兩邊平方，我們得到:

a² = (6q + 2)²

a² = 36q² + 24q + 4

a² = 6(6q² + 4q) + 4

a² = 6m + 4，其中m = 6q² + 4q

當r = 3時

a = 6q + 3

兩邊平方，我們得到:

a² = (6q + 3)²

a² = 36q² + 36q + 9

a² = 36q² + 36q + 6 + 3

a² = 6(6q² + 6q + 1) + 3

a² = 6m + 3，其中m = 6q² + 6q + 1

當r = 4時

a = 6q + 4

兩邊平方，我們得到:

a² = (6q + 4)²

a² = 36q² + 48q + 16

a² = 36q² + 48q + 12 + 4

a² = 6(6q² + 8q + 2) + 4

a² = 6m + 4，其中m = 6q² + 8q + 2

當r = 5時

a = 6q + 5

兩邊平方，我們得到:

a² = (6q + 5)²

a² = 36q² + 60q + 25

a² = 36q² + 60q + 24 + 1

a² = 6(6q² + 10q + 4) + 1

a² = 6m + 1，其中m = 6q² + 10q + 4

因此，任何正整數的平方不可能是任何正整數m的6m+2或6m+5的形式。

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更新於：2022年10月10日

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