證明任何正整數的平方都可以表示為 4q 或 4q + 1 的形式，其中 q 為某個整數。

已知

正整數 $q$。

要求

我們必須證明任何正整數的平方都可以表示為 4q 或 4q + 1 的形式，其中 'q' 為某個整數。

解答：

根據歐幾里得除法演算法：

如果 a 和 b 是兩個正整數，

a = bm + r，其中 0 ≤ r < b

令 a 為正整數，b 等於 4，

a = 4m + r，其中 0 ≤ r < 4，

所以，r = 0, 1, 2, 3

現在，

當 r = 0 時，

a = 4m

兩邊平方，我們得到

a² = (4m)²

a² = 4(4m²)

a² = 4q，其中 q = 4m²

當 r = 1 時，

a = 4m + 1

兩邊平方，我們得到

a² = (4m + 1)²

a² = 16m² + 1 + 8m

a² = 4(4m² + 2m) + 1

a² = 4q + 1，其中 q = 4m² + 2m

當 r = 2 時，

a = 4m + 2

兩邊平方，我們得到

a² = (4m + 2)²

a² = 16m² + 4 + 16m

a² = 4(4m² + 4m + 1)

a² = 4q，其中 q = 4m² + 4m + 1

當 r = 3 時，

a = 4m + 3

兩邊平方，我們得到

a² = (4m + 3)²

a² = 16m² + 9 + 24m

a² = 16m² + 24m + 8 + 1

a² = 4(4m² + 6m + 2) + 1

a² = 4q + 1，其中 q = 4m² + 6m + 2

因此，任何正整數的平方都可以表示為 4q 或 4q + 1 的形式，其中 q 為某個整數。

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更新於：2022年10月10日

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