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法律研究利用歐幾里得除法引理證明任何正整數的平方都可以表示為3m 或 3m+1的形式，其中m為整數。
已知
已知正整數為'm'。
要求
我們必須證明任何正整數的平方都可以表示為3m 或 3m+1的形式，其中m為整數。
解答
根據歐幾里得除法演算法，
$a = b q + r$，其中$0 \leq r < b$。
設a為正整數，b = 3。
那麼，$a = 3 q + r$，其中$0 \leq r < 3$。
r 的可能取值為 0，1，2。
當$r = 0$時，
$a = 3 q + r$
$a = 3 q + 0$
$a = 3 q$
兩邊平方，
$a^2 = (3 q)^2$
$a^2 = 9 q^2$
$a^2 = 3(3 q^2)$
$a^2 = 3 m$；其中$m = 3 q^2$。
當$r = 1$時
$a = 3 q + r$
$a = 3 q + 1$
兩邊平方，
$a^2 = (3 q + 1)^2$
$a^2 = (3 q)^2 + 1^2 + 2 (3q) (1)$ $[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$a^2 = 9 q^2 + 1 + 6q$
$a^2 = 9 q^2 + 6q + 1$
$a^2 = 3(3 q^2 + 2 q) + 1$
$a^2 = 3 m + 1$；其中$m = 3 q^2 + 2 q$。
當$r = 2$時
$a = 3 q + r$
$a = 3 q + 2$
兩邊平方，
$a^2 = (3 q + 2)^2$
$a^2 = (3 q)^2 + 2^2 + 2 (3q) (2)$ $[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$a^2 = 9 q^2 + 4 + 12q$
$a^2 = 9 q^2 + 12 q + 4$
$a^2 = 9 q^2 + 12 q + 3 + 1$
$a^2 = 3(3 q^2 + 4 q + 1) + 1$
$a^2 = 3 m + 1$；其中$m = 3 q^2 + 4 q + 1$。
因此，任何正整數的平方都可以表示為3m 或 3m+1的形式，其中
m為整數。
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