利用歐幾里得除法引理證明任何正整數的立方都可以表示為9m、9m+1或9m+8的形式。

待辦事項

我們必須證明任何正整數的立方都可以表示為9m、9m+1或9m+8的形式。

解答

根據歐幾里得除法演算法，

a = bq + r，其中0 ≤ r < b。

設a為正整數，b = 3。

那麼，a = 3q + r，其中0 ≤ r < 3。

r 的可能值為0、1、2。

當r = 0時，

a = 3q

兩邊立方，

a³ = (3q)³

a³ = 27q³

a³ = 9(3q³)

a³ = 9m，其中m = 3q³

當r = 1時，

a = 3q + 1

兩邊立方，

a³ = (3q + 1)³

a³ = (3q)³ + 1³ + 3(3q)(1)(3q + 1)

a³ = 27q³ + 1 + 9q(3q + 1)

a³ = 27q³ + 1 + 27q² + 9q

a³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1

a³ = 9(3q³ + 3q² + q) + 1

a³ = 9m + 1，其中m = (3q³ + 3q² + q)

當r = 2時，

a = 3q + 2

兩邊立方，

a³ = (3q + 2)³

a³ = (3q)³ + 2³ + 3(3q)(2)(3q + 2)

a³ = 27q³ + 8 + 54q² + 36q

a³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8

a³ = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8

a³ = 9m + 8，其中m = (3q³ + 6q² + 4q)

因此，a 可以是 9m、9m + 1 或 9m + 8 的形式。

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更新於：2022年10月10日

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